KöMaL - Középiskolai Matematikai és Fizikai Lapok
 English
Információ
A lap
Pontverseny
Cikkek
Hírek
Fórum
Versenykiírás
Tudnivalók
Nevezési lap
Feladatok
Eredmények
Korábbi évek
Arcképcsarnok
Munkafüzet

Rendelje meg a KöMaL-t!

VersenyVizsga portál

Kísérletek.hu

Matematika oktatási portál

Matematikából kitűzött gyakorlatok és feladatok
1998. február

Általános iskolások részére javasolt példák: C. 493., C. 495., Gy. 3184.

A pontversenyben kitűzött C gyakorlatok

C. 493. Keressük meg azokat a négyzetszámokat, amelyeket 11-gyel maradékosan osztva a hányados prímszám és a maradék 4.

C. 494. 1-től kezdve sorban leírjuk a pozitív egész számokat valamely rögzített n-ig. Alájuk ugyanezeket a számokat írjuk, csak fordított sorrendben. Képezzük az egymás alatt lévő számok különbségének abszolút értékét, majd adjuk össze ezeket. Mi lesz az így kapott összeg?

C. 495. Bizonyítsuk be, hogy ha egy trapéz alapján fekvő szögek nem egyenlők, akkor a kisebbik szög csúcsából kiinduló átló hosszabb, mint a másik átló.

C. 496. Egy szabályos hatszög alapú egyenes hasáb testátlóinak hossza 12 és 13. Mekkora a hasáb térfogata?


A C gyakorlatok megoldásai a következő címekre küldhetők:


KöMaL Szerkesztőség (C gyakorlatok), Budapest, Pf. 47. 1255
illetve
megoldas@komal.elte.hu (Az interneten keresztül történő beküldésről olvassa el tájékoztatónkat)

A beküldési határidő: 1998. március 16.


A pontversenyben kitűzött gyakorlatok

Gy. 3182. Legyen az a, b, c, d nemnegatív valós számok összege 1. Bizonyítsuk be, hogy .

Javasolta: Blahota István, Nyíregyháza

Gy. 3183. Egymást jól ismerő emberek társaságában mindenki vagy mindig igazat mond, vagy mindig hazudik. Egy kerek asztal köré ülve mindenki azt állítja, hogy ő igazmondó, de a tőle k hellyel jobbra ülő hazug. Hányan ülhetnek az asztal körül?

Javasolta: Bakonyi Gábor, Budapest

Gy. 3184. Amerikában a hőmérsékletet Fahrenheit fokban mérik. Ez egy egyenletes skála, amelyben a víz fagyáspontja 32 oF és a forráspontja 212 oF.
Valaki megadja a hőmérsékletet egész Fahrenheit fokokra kerekítve, amit mi átváltunk Celsiusra, és utána ismét egész fokokra kerekítünk. Legfeljebb mekkora lehet a kapott értéknek az eredeti hőmérséklettől való eltérése Celsius fokokban?

Javasolta: Fried Ervin, Budapest

Gy. 3185. Az A1A2...An szabályos n-szög csúcsaira valamilyen sorrendben felírjuk az 1, 2, ..., n számokat.

    a) Bizonyítsuk be, hogy a szomszédos számok közti különbségek abszolút értékének összege legalább 2n-2.
    b) Hány olyan elhelyezés van, amelyben a fenti összeg éppen 2n-2? (H)

Gy. 3186. Szerkesszünk háromszöget egyik csúcsából induló magasságának és súlyvonalának hosszából, ha ismerjük a csúcs és a magasságpont távolságát is.

Gy. 3187. Anna és Béla találkozót beszél meg délután 5 és közöttre. Mi a valószínűsége annak, hogy a korábban érkező nem vár 10 percnél többet a másikra, ha mindketten betartják, amit megbeszéltek?

Gy. 3188. Bizonyítsuk be, hogy bármely tetraédernek van olyan csúcsa, amelybe befutó élekből szerkeszthető háromszög.

Gy. 3189. Forgassunk el egy egységnyi élű kockát egyik testátlója körül 60o-kal. Számítsuk ki az eredeti és az elforgatott kocka közös részének térfogatát! (H)

A pontversenyben kitűzött feladatok

F. 3214. Aladdin bejárta az egyenlítő minden pontját, hol nyugatra, hol keletre mozogva az egyenlítő mentén, hol pedig átvarázsolva magát a Föld átellenes pontjára. Útja során legfeljebb 19 000 km-t ment nyugatra. Bizonyítsuk be, hogy volt olyan időpont, amikor a keletre és nyugatra megtett utak hosszának különbsége legalább az egyenlítő fele volt.

F. 3215. Az a1, a2, ..., an, valós számok mindegyike nagyobb a k pozitív számnál. Igazoljuk, hogy .

Javasolta: Czirok Levente, Szekszárd

F. 3216. Igaz-e minden n természetes számra az egyenlőtlenség?

Javasolta: Róka Sándor, Nyíregyháza

F. 3217. Egy háromszög súlyvonalainak hossza s1, s2 és s3, egy P pontnak a súlyvonalaktól való távolsága pedig rendre d1, d2 és d3. Mutassuk meg, hogy az s1d1, s2d2 és s3d3 szorzatok közül a legnagyobb egyenlő a másik kettő összegével.

Javasolta: Kiss János, Budapest

F. 3218. Az A1A2A3 háromszög egy P belső pontjából az AiAi+1 oldalegyenesre bocsátott merőleges talppontja Bi (i=1,2,3, az indexeket modulo 3 értjük). A B1B2B3 háromszögből hasonlóan képezzük a C1C2C3, majd abból a D1D2D3 háromszöget. Mutassuk meg, hogy a D1D2D3 háromszög hasonló az A1A2A3 háromszöghöz.

F. 3219. Egy szabályos dodekaéder lapjait kiszíneztük pirossal, kékkel, sárgával és zölddel úgy, hogy bármelyik két szomszédos lap színe különböző. Hány olyan éle van a dodekaédernek, amelyhez csatlakozó két lap közül az egyik kék, a másik pedig zöld?

A pontversenyben kitűzött nehezebb feladatok

N. 163. Bizonyítsuk be, hogy n darab A, n darab B és n darab C betű felhasználásával pontosan olyan 3n hosszúságú szó készíthető, amelyben tetszőleges egészre a k-adik A betű megelőzi a k-adik B betűt, és a k-adik B betű megelőzi a k-adik C betűt.

N. 164. Van-e olyan eleme a Fibonacci-sorozatnak, amelynek tízes számrendszerbeli alakja 6 darab 9-es számjegyre végződik?

N. 165. A0, A1, A2, ..., Ak egy 4n-elemű halmaz 2n-elemű részhalmazai. Igazoljuk, hogy közülük valamelyik kettő metszetének elemszáma legalább .

Javasolta: Babai László, Chicago

N. 166. Adott egy egyenesen négy pont: A, B, C és D. A pontok az egyenesen ebben a sorrendben következnek, és AB=CD. Megszerkeszthető-e egyetlen egyenes vonalzóval a BC szakasz felezőpontja?


A matematika gyakorlatok és feladatok megoldásai a következő címekre küldhetők:


Bolyai János Matematikai Társulat (KöMaL feladatok); Budapest, Pf. 433. 1371
illetve
megoldas@komal.elte.hu (Az interneten keresztül történő beküldésről olvassa el tájékoztatónkat)

A beküldési határidő: 1998. március 16.

Támogatóink:   Ericsson   Cognex   Emberi Erőforrás Támogatáskezelő   Emberi Erőforrások Minisztériuma   Nemzeti Tehetség Program    
MTA Energiatudományi Kutatóközpont   MTA Wigner Fizikai Kutatóközpont     Nemzeti
Kulturális Alap   ELTE   Morgan Stanley