KöMaL - Középiskolai Matematikai és Fizikai Lapok
Belépés
Regisztráció
 English
Információ
A lap
Pontverseny
Cikkek
Hírek
Fórum
Versenykiírás
Tudnivalók
Nevezési lap
Feladatok
Eredmények
Korábbi évek
Arcképcsarnok
Munkafüzet

Rendelje meg a KöMaL-t!

ELTE

VersenyVizsga portál

Kísérletek.hu

Matematika oktatási portál

Matematikából kitűzött gyakorlatok és feladatok
1998. október

Általános iskolások részére javasolt példák: C. 513., C. 515., Gy. 3222., Gy. 3226., Gy. 3227.


A pontversenyben kitűzött C gyakorlatok

C. 513. Egy 25 méter hosszú feltekercselt vezetéket 2 és 3 méteres darabokra vágunk fel. Hányféleképpen tehetjük ezt meg, ha a különböző méretű darabok sorrendje is számít?

C. 514. Jelölje Sn a (2n, 2n+1) intervallumba eső egész számok összegét. Bizonyítsuk be, hogy Sn minden pozitív egész n szám esetén osztható 3-mal. Milyen pozitív egész n-ekre osztható Sn 9-cel?

C. 515. Egy kockát felosztottunk 27 egybevágó kis kockára. Legfeljebb hány kis kockát döfhet át egy egyenes?

C. 516. Igazoljuk, hogy minden tetraédernek van olyan magassága, amely legalább akkora, mint a tetraéderbe írható gömb átmérőjének kétszerese.


A C gyakorlatok megoldásai a következő címekre küldhetők:


KöMaL Szerkesztőség (C gyakorlatok), Budapest, Pf. 47. 1255
illetve
megoldas@komal.elte.hu (Az interneten keresztül történő beküldésről olvassa el tájékoztatónkat)

A beküldési határidő: 1998. november 16.


A pontversenyben kitűzött gyakorlatok

Gy. 3222. Legyenek A és B 9-jegyű számok. Tegyük fel, hogy A bármelyik számjegyét B-nek megfelelő (ugyanolyan helyiértéken álló) számjegyével helyettesítve 7-tel osztható számot kapunk. Mutassuk meg, hogy akkor ez megfordítva is teljesül, azaz B egy tetszőleges számjegyét A megfelelő jegyével helyettesítve, ugyancsak 7-tel osztható számot kapunk.

Gy. 3223. Legyenek x, y, z pozitív valós számok. Igaz-e, hogy

    a) ha , akkor ?
    b) ha , akkor ?

Angol versenyfeladat

Gy. 3224. Oldjuk meg a következő egyenletrendszert a pozitív egészek körében:


n+k=(n,k)2
k+m=(k,m)2
m+m=(m,n)2

ahol (a,b) az a és b legnagyobb közös osztóját jelöli. (H)

Gy. 3225. Az (ai) sorozatot a következőképpen definiáljuk: a1=1, . Határozzuk meg a1998 értékét.

Gy. 3226. A k1 és k2 körök közös pontjai A és B. A k1 kör A pontbeli érintője k2-t a C pontban, a k2 B pontbeli érintője a k1 kört a D pontban metszi. Bizonyítsuk be, hogy BD2.BC=AC2.AD.

Gy. 3227. Egy körbe két alakzatot írunk. Egy trapézt, amely a kör egyik átmérőjén nyugszik, és egy egyenlő szárú háromszöget, amelynek szárai párhuzamosak a trapéz száraival. Bizonyítsuk be, hogy a két alakzat területe egyenlő.

Gy. 3228. Egy húrnégyszög oldalai rendre 2, 3, 4, 6 egységnyiek. Milyen arányban osztják egymást az átlók?

Bodó Boglárka (Budapest) javaslata alapján

Gy. 3229. Bizonyítsuk be, hogy egybevágó szabályos tetraéderekkel, és velük egyező élű szabályos oktaéderekkel a tér hézag és átfedés nélkül kitölthető. (H)


A pontversenyben kitűzött feladatok

F. 3244. Határozzuk meg az összes pozitív x számot, amely megoldása valamely alakú egyenletnek.

F. 3245. Egy mókus mogyorót gyűjtött télire. Első nap megevett 1 szemet és a maradék -ad részét, a másodikon 2 szemet és a maradék -ad részét, és így tovább. Végül az utolsó, n-edik napon megette a megmaradt n mogyorót. Hány szem mogyorót gyűjtött a mókus?

F. 3246. Legyen x1 pozitív, 1-nél kisebb szám. Ebből kiindulva képezzük az előírással meghatározott sorozatot. Mutassuk meg, hogy n bármekkora, .

F. 3247. Az ABCD négyszög A-ból induló oldalainak mértani közepét A-ból felmérve az AB és az AD félegyenesekre, kapjuk a K és az L pontokat, a C-ből induló oldalainak mértani közepét C-ből felmérve a CB és a CD félegyenesekre pedig az M és az N pontokat. Milyen feltétel mellett teljesül, hogy KL=MN?

F. 3248. Egy 5 lányból és 5 fiúból álló társaság azonos nemű tagjai nem ismerik egymást, továbbá nincs két olyan lány, akinek lenne két közös fiúismerőse. Legfeljebb hány ismeretség van a társaság tagjai között? Hogyan módosul a válasz, ha a társaságban 7 lány és 7 fiú van?

F. 3249. Egy konvex poliéder minden lapja páratlan oldalú sokszög, és minden csúcsában páratlan sok él találkozik. Lehetséges-e, hogy a háromszöglapok számának és a három élre illeszkedő csúcsok számának az összege 9?


A pontversenyben kitűzött nehezebb feladatok

N. 183. Az y=x2 egyenletű parabolát ,,csúszásmentesen elgurítjuk'' az x tengelyen. Milyen messzire távolodhat el a parabola az y tengelytől?

N. 184. Egy végtelen fagráf minden éle két olyan rácspontot köt össze, amelyek távolsága legfeljebb 1998. A sík minden rácspontja csúcsa a gráfnak. Bizonyítsuk be, hogy van két egységnyi távolságra lévő pont a síkon, amelyeket a fagráfban legalább 101998 hosszúságú út köt össze.

N. 185. Adjunk meg olyan, az egész számokon értelmezett többváltozós, egész együtthatós polinomot, amelynek értékkészlete bizonyos negatív számokból és az (n=1,2,...) alakú számokból áll.

N. 186. Igaz-e, hogy ha valamely x valós számra és n pozitív egészre cos nx és cos (n+1)x racionális, akkor cos x is racionális?


A matematika gyakorlatok és feladatok megoldásai a következő címekre küldhetők:


Bolyai János Matematikai Társulat (KöMaL feladatok); Budapest, Pf. 433. 1371
illetve
megoldas@komal.elte.hu (Az interneten keresztül történő beküldésről olvassa el tájékoztatónkat)

A beküldési határidő: 1998. november 16.

Támogatóink:   Ericsson   Cognex   Emberi Erőforrás Támogatáskezelő   Emberi Erőforrások Minisztériuma   Nemzeti Tehetség Program    
MTA Energiatudományi Kutatóközpont   MTA Wigner Fizikai Kutatóközpont     Nemzeti
Kulturális Alap   ELTE   Morgan Stanley