KöMaL - Középiskolai Matematikai és Fizikai Lapok
 English
Információ
A lap
Pontverseny
Cikkek
Hírek
Fórum
Versenykiírás
Tudnivalók
Nevezési lap
Feladatok
Eredmények
Korábbi évek
Arcképcsarnok
Munkafüzet

Rendelje meg a KöMaL-t!

VersenyVizsga portál

Kísérletek.hu

Matematika oktatási portál

Matematikából kitűzött gyakorlatok és feladatok
1999. május

Általános iskolásoknak javasolt feladatok: C. 541., C. 543., Gy. 3278., Gy. 3281.


A pontversenyben kitűzött C gyakorlatok

C. 541. Egy hatoldalas házi dolgozatban négy ábrát kell elhelyeznünk. Az ábrák sorrendje meghatározott és egy oldalon legfeljebb két ábra lehet. Hányféleképpen tehető ez meg? (Az ábrák egy-egy oldalon belüli helyzetére nem vagyunk tekintettel.)

C. 542. Milyen pozitív egész n-ekre teljesül az

(n-2)(2+22+...+2n)<n.2n

egyenlőtlenség?

C. 543. Szerkesszünk háromszöget, ha adott egy szöge és két magassága.

C. 544. ,,Szerkezetkész'' egységkockánknak van alap- és fedőlapja, továbbá oldalélei. A fedőlapot az alaplaphoz képest hegyesszöggel elcsavarjuk a két lap középpontját összekötő egyenes mint tengely körül. Mennyivel kerül közelebb a fedőlap az alaplaphoz, ha az oldalélek hossza nem változik és a csúcsok összeköttetése is megmarad?


A C gyakorlatok megoldásai a következő címekre küldhetők:


KöMaL Szerkesztőség (C gyakorlatok), Budapest, Pf. 47. 1255
illetve
megoldas@komal.elte.hu (Az interneten keresztül történő beküldésről olvassa el tájékoztatónkat)

A beküldési határidő: 1999. június 15.


A pontversenyben kitűzött gyakorlatok

Gy. 3278. Egy 3x3-as bűvös négyzet ábra szerinti három eleme, a, b és c adott. Határozzuk meg a hiányzó elemeket (minden sorban, minden oszlopban és a két átlóban a számok összege ugyanannyi).

       b       
  a          c  
              

Dr. Kiss Sándor (Nyíregyháza) ötlete alapján

Gy. 3279. Tíz gyerek ,,bogozódós'' játékot játszik: körbe állnak, és csukott szemmel, kinyújtott kézzel elindulnak a kör közepe felé. Mindenki mindkét kezével megfogja valaki másnak a kezét. Ezután kinyitják a szemüket, és elkezdenek ,,kibogozódni'': átbújnak egymás keze alatt, átlépik egymás kezét stb. (mindenki kellően hajlékony) - de nem engedik el közben egymás kezét. Az összes eset hány százalékában igaz, hogy ha egy helyen két szomszédos gyerek elengedi egymás kezét, akkor a tíz gyerek egymás kezét fogva összefüggő láncot alkot? (H)

Gy. 3280. Legyenek p és q olyan pozitív valós számok, amelyek reciprokainak összege 1. Bizonyítsuk be, hogy

és .

Javasolta: Róka Sándor, Nyíregyháza

Gy. 3281. Egy téglatest egy csúcsba futó éleinek mérőszámai prímszámok, felszínének mérőszáma prímhatvány. Bizonyítsuk be, hogy az élei közül pontosan az egyik 2k-1 alakú prímszám.

Javasolta: Kovács Ádám, Budapest

Gy. 3282. Egy háromszög három oldala a, b és c. Bizonyítsuk be, hogy

.

Lehetséges-e egyenlőség?

Gy. 3283. Egy derékszögű háromszög egyik befogójára és átfogójára négyzetet rajzoltunk kifelé, és megszerkesztettük az M pontot az 1. ábrának megfelelően. Bizonyítsuk be, hogy M rajta van a háromszög beírt négyzetének kerületén (2. ábra).


1. ábra

2. ábra

Javasolta: Herczeg János, Budapest

Gy. 3284. Igazoljuk, hogy ha egy körív felezi egy k kör területét, akkor hossza nagyobb k átmérőjénél. (H)

Gy. 3285. Milyen rombuszhoz létezik két különböző paralelepipedon, amelyeknek a lapjai egybevágóak ezzel a rombusszal?

Javasolta: Peták Kálmán, Szolnok


A pontversenyben kitűzött feladatok

F. 3286. A t milyen értékeire asszociatív a pozitív számokon értelmezett kétváltozós művelet?

F. 3287. Egy halmaz páronként diszjunkt halmazokra való felbontását a halmaz egy partíciójának nevezzük. Igazoljuk, hogy egy n elemű halmaznak legfeljebb n! darab partíciója van.

Javasolta: Róka Sándor, Nyíregyháza

F. 3288. Legyenek n és k pozitív egészek és p prímszám úgy, hogy pk|n!. Bizonyítsuk be, hogy ekkor n! osztható (p!)k-nal is.

F. 3289. Adott egy P pont és az a, b, c szakaszok. Szerkesszünk olyan szabályos háromszöget, amelynek a csúcsait P-vel összekötő szakaszok hossza éppen a, b és c.

F. 3290. Mutassuk meg, hogy az A(1, 0, 2), B(4, 3, -1), C(0, 3, -1), D(5, -2, 4) koordinátájú pontok egy síkban vannak. Mekkora a négy pont által meghatározott konvex négyszög területe?

F. 3291. Bizonyítsuk be, hogy bármely egyenlő oldalú rácssokszög oldalszáma páros.

Javasolta: Ruzsa Z. Imre, Budapest


A pontversenyben kitűzött nehezebb feladatok

N. 211. Hány olyan n-elemű, pozitív egész számokból álló sorozat van, amelyben tetszőleges 1in esetén az i-nél nagyobb elemek száma legfeljebb n-i?

N. 212. Melyek azok az a és n pozitív egész számok, amelyekre mindegyik prímosztója osztója n-nek is?

N. 213. Legyen pn(x)=an,0+an,1x+...+an,nxn az a legfeljebb n-edfokú polinom, amelynek értéke a 20, 21, ..., 2n helyeken rendre 0, 1, ..., n. Határozzuk meg tetszőleges k pozitív egész esetén a határértéket.

N. 214. A sík egy P pontjából két érintőt húzunk az y=x2 parabolához. A két érintési pontot jelöljük QP-vel és RP-vel, a parabola QP és RP közötti ívének hosszát pedig l(QP, RP)-vel. Melyek azok a P pontok, amelyekre PQP+PRP-l(QP, RP) állandó?


A matematika gyakorlatok és feladatok megoldásai a következő címekre küldhetők:


Bolyai János Matematikai Társulat (KöMaL feladatok); Budapest, Pf. 433. 1371
illetve
megoldas@komal.elte.hu (Az interneten keresztül történő beküldésről olvassa el tájékoztatónkat)

A beküldési határidő: 1999. június 15.

Támogatóink:   Ericsson   Cognex   Emberi Erőforrás Támogatáskezelő   Emberi Erőforrások Minisztériuma   Nemzeti Tehetség Program    
MTA Energiatudományi Kutatóközpont   MTA Wigner Fizikai Kutatóközpont     Nemzeti
Kulturális Alap   ELTE   Morgan Stanley