KöMaL - Középiskolai Matematikai és Fizikai Lapok
 English
Információ
A lap
Pontverseny
Cikkek
Hírek
Fórum
Versenykiírás
Tudnivalók
Nevezési lap
Feladatok
Eredmények
Korábbi évek
Arcképcsarnok
Munkafüzet

Rendelje meg a KöMaL-t!

VersenyVizsga portál

Kísérletek.hu

Matematika oktatási portál

Az 1999. szeptemberi számban kitűzött C-jelű matematika gyakorlatok megoldása

A közöltek csak megoldásvázlatok, esetleg csak végeredmények. A maximális pontszám eléréséhez általában ennél részletesebb megoldás szükséges. A részletes megoldásokat a beküldött dolgozatok alapján a KöMaL-ban folyamatosan közöljük.


C. 545. Egy teli tubusban 75ml fogkrém van. Hány méter fogkrémet lehetne belőle kinyomni, ha tudjuk, hogy a kinyomott fogkrém keresztmetszetének átmérője 6 mm?

Megoldásvázlat.

A fogkrém térfogata 75ml=7,5.10-5m3.

Ha a kinyomott fogrém hossza h, akkor ennek a 3mm=3.10-3m sugarú hengernek a keresztmetszete (3.10-3m)2, térfogata (3.10-3m)2.h.

A két térfogat megegyezik, ezért

h=....2,653 méter.


C. 546. Valaki leírta az egész számokat egymás mellé 1-től 1999-ig. Milyen számjegy áll az 1999-edik helyen?

Megoldásvázlat. 9 db. egyjegyű, 90 db. kétjegyű, 900 db. háromjegyű szám van. Ezek számjegyeinek száma: 9.1+90.2+900.3=9+180+2700>1999. Tehát a háromjegyűekből kevesebb kell. 1999-189=1810 számjegy marad a háromjegyű számokra. 1810=603.3+1. Tehát az 1999. számjegy a 604. háromjegyű szám első számjegye, azaz a 703 első számjegye, és ez pedig a 7.


C. 547. Egy óra nagy-, kis- és másodpercmutatója közös tengelyen van. 12 órakor fedik egymást. Legközelebb mikor lesz fedésben a három mutató?

Megoldásvázlat.

A nagymutató 12 óra alatt 11-gyel több fordulatot tesz, mint a kismutató. Ezért a nagy- és kismutató éjfélig (éjfélt is beleszámítva) tizenegyszer fedi egymást. A fedések között egyenlő idők telnek el, tehát a fedések (12/11).k óra múlva következnek be. (k=1,2,...,11)

A másodpercmutató 1 óra alatt 59-cel több fordulatot tesz, mint a nagymutató, ezért a nagy- és a másodpercmutató fedései (1/59).l óra múlva lesznek. (l=1,2,3,...)

A három mutató fedésekor (12/11).k=(1/59).l, rendezve 12.59.k=11.l.

A 11 relatív prím a 12-höz és az 59-hez is, ezért szükséges, hogy k osztható legyen 11-gyel, illetve l osztható legyen 12.59-cel. A mutatók legelső együttes fedésekor tehát k=11 és l=12.59, az eltelt idő pedig éppen 12 óra.

A mutatók tehát legközelebb csak éjfélkor fedik egymást.


C. 548. Az y(x2+y2)-x(x2+y2)-y+x=0 egyenlettel adott ponthalmaz melyik pontja van legközelebb a P(3;4) ponthoz?

Megoldásvázlat. Az egyenletet szorzattá alakítva

(y-x)(x2+y2-1)=0.

Az első tényező az origón átmenő, 45o irányú egyenes, a második az origó középpontú, egységnyi sugarú kör egyenlete. Az egyenlettel leírt halmaz e két alakzat uniója.

A P pont távolsága az origótól 5 egység, ezért a körtől 5-1=4 egység. A P-ből az x-y=1 egyenesre bocsátott merőleges egyenlete x+y=7. A két egyenes metszéspontja a (3,5; 3,5) pont, amely P-től /2 távolságra van. A két távolság közül ez a kisebb, ezért P távolsága az alakzattól /2=0,7071... egység.


C. 549. Az egységnyi élű ABCDEFGH kocka BE lapátlójának E-hez közelebbi harmadolópontja milyen távol van a CFH háromszög síkjától (lásd az ábrát)?

Megoldásvázlat. A BDE és CFH síkok párhuzamosak, a feladat kérdése ezek távolsága.

A BE szakasz merőleges az ADGF síkra és a síkban fekvő AG testátlóra. Hasonlóan látjuk, hogy a BD, DE, CF, CG, FH szakaszok mindegyike, következésképpen a BDE és CFH síkok is merőlegesek rá. A két sík távolsága ezért egyenlő annak a szakasznak a hosszával, amit a testátlóból kimetszenek.

Az AB, EF és HG vektorok egynlőek, így ezek vetülete az AG testátlóra ugyanaz. Tehát a BDE és CFH síkok harmadolják a hosszúságú testátlót, a távolságuk pedig /3.

Támogatóink:   Ericsson   Cognex   Emberi Erőforrás Támogatáskezelő   Emberi Erőforrások Minisztériuma   Nemzeti Tehetség Program    
MTA Energiatudományi Kutatóközpont   MTA Wigner Fizikai Kutatóközpont     Nemzeti
Kulturális Alap   ELTE   Morgan Stanley