KöMaL - Középiskolai Matematikai és Fizikai Lapok
Belépés
Regisztráció
 English
Információ
A lap
Pontverseny
Cikkek
Hírek
Fórum
Versenykiírás
Tudnivalók
Nevezési lap
Feladatok
Eredmények
Korábbi évek
Arcképcsarnok
Munkafüzet

Rendelje meg a KöMaL-t!

ELTE

VersenyVizsga portál

Kísérletek.hu

Matematika oktatási portál

Az 1999. novemberi B-jelű matematika feladatok megoldása

A közöltek csak megoldásvázlatok, esetleg csak végeredmények. A maximális pontszám eléréséhez általában ennél részletesebb megoldás szükséges. A részletes megoldásokat a beküldött dolgozatok alapján a KöMaL-ban folyamatosan közöljük.


B. 3312. Szilveszter észrevette, hogy ha születési évének számjegyeit összeadja, azt a számot kapja, amely nagyapja születési évszámának utolsó két jegyéből áll. Szilveszter születési évszámának utolsó két jegye összeolvasva pedig nagyapja jelenlegi életkora. Hány éves Szilveszter? (3 pont)

Javasolta: Nyul Balázs 9. o. t., Debrecen

Megoldásvázlat. Szilveszter nagyapjának életkora kétjegyű, ezért a feladatban szereplő évszámok mind az 1900-as évekből valók.

Legyen Szilveszter születési éve 19ab=1900+10a+b. A feltételekből tudjuk, hogy nagyapja születési éve 1900+(1+9+a+b), életkora pedig 10a+b. E két információból

(1910+a+b)+(10a+b)=1999, vagyis 11a+2b=89.

Ennek az egyenletnek a 0, 1, ..., 9 számjegyek között egy megoldása van: a=7, b=6. Tehát Szilveszter 1976-ban született, nagyapja 1923-ban, Szilveszter 23 éves.


B. 3313. Az ABCD rombuszt a BD átlója két szabályos háromszögre vágja. Az AD szakaszon adott egy P, a CD szakaszon pedig egy Q pont úgy, hogy a PBQ=60o. Mekkora a PBQ háromszög másik két szöge? (3 pont)

Megoldásvázlat.

A B körüli 60o-os elforgatás a CD szakaszt és a a BQ félegyenest a DA szakaszba illetve a BP félegyenesbe viszi, az előbbi kettő metszéspontját, Q-t az utóbbi kettő metszéspontjába, P-be. Ezért a PBQ háromszög szabályos.


B. 3314. Meg lehet-e számozni egy szabályos oktaéder éleit az 1, 2, ..., 12 számokkal úgy, hogy mindegyik csúcsban ugyanannyi legyen az oda befutó élekre írt számok összege? (3 pont)

Javasolta: Reményi Gusztáv, Budapest

Megoldásvázlat. Egy lehetséges számozás látható az ábrán.


B. 3315. Adjuk meg azt az f(x)=ax alakú függvényt, amely a g(x)=x2 függvényt "jól" közelíti az x=0,1; 0,2; ...;0,5 helyeken abban az értelemben, hogy az ezeken a helyeken számított |f(x)-g(x)| hibák közül a legnagyobbik a lehető legkisebb. (4 pont)

Javasolta: Bakonyi Gábor, Budapest

Megoldásvázlat. A hibák rendre |0,1a-0,01|, |0,2a-0,04|, |0,3a-0,09|, |0,4a-0,16|, |0,5a-0,25|. Ezeket ábrázoltuk az alábbi ábrán:

A hibák maximuma (az ábrán sárga vonallal jeleztük)

    0,25-0,5a ha a;
    0,2a-0,04 ha a0,5;
    0,3a-0,09 ha 0,5a0,7;
    0,4a-0,16 ha 0,7a0,9;
    0,5a-0,25 ha 0,9a.

A maximumok minimuma a=-nél van, értéke .


B. 3316. Legyen P az ABC háromszög egy belső pontja. Az AP és a BP egyenesek messék a háromszög szemközti oldalát a D illetve az E pontban. Mutassuk meg, hogy ha AP=BP és BE=CE, akkor 1/AP=1/AD+1/AC. (4 pont)

Javasolta: Lee, Ho-joo, Korea

Megoldásvázlat.

Írjuk fel Menelaosz tételét az AEP háromszögre és a BDC egyenesre:

.

Egyszerűsítsünk BE=CE-vel, és írjunk BP helyett AP-t:

Ez, átrendezve, éppen a feladat állítása.


B. 3317. Oldjuk meg a következő egyenletet:

(4 pont)

Javasolta: Hans Zoltán, Nagykanizsa

Megoldásvázlat. Behelyettesítéssel könnyen ellenőrizhető, hogy x=0 és x=2000 megoldások. Megmutatjuk, hogy más megoldás nincs.

Ha 0<x<2000, akkor , és

Ha x>2000, akkor az összes egyenlőtlenség fordítva áll.


B. 3318. Az egységnyi sugarú k1 és k2 körök a P pontban érintik egymást. A két kör egyik P-n át nem menő közös érintője az e egyenes. Legyen i>2 esetén ki az a ki-2-től különböző kör, amely érinti k1-et, ki-1-et és e-t. Határozzuk meg k1999 sugarát. (5 pont)

Megoldásvázlat.

Jelöljük kn középpontját On-nel, sugarát Rn-nel, e-vel való érintési pontját Tn-nel.

Az O1T1TnOn, O1T1Tn+1On+1, On+1Tn+1TnOn derékszögű trapézokból

,      és   ,

amiből

  és  

Mivel R2=1, ebből következik, hogy n>1 esetén

  és  

speciálisan


B. 3319. Ismert, hogy egy adott körbe írható négy csúcsú síkidomok közül a négyzet területe a legnagyobb. Igaz-e, hogy egy adott gömbbe írható nyolc csúcsú testek közül a beírható kocka térfogata a legnagyobb? (4 pont)

Megoldásvázlat. Nem a kocka térfogata a legnagyobb.

Az r sugarú gömbbe írt kocka térfogata , ezzel szemben az ugyanakkora gömbbe írt szabályos hatszög alapú kettős gúla térfogata . (A gömbbe írt nyolc csúcsú testek közül ennek a legnagyobb a térfogata.)


B. 3320. Oldjuk meg a következő egyenletet:

xx1/2=1/2.

(5 pont)

Javasolta: Lovrics László, Budapest

Megoldásvázlat. Legyen x=y2. Ezt behelyettesítve az egyenletbe

y2y=1/2.

Deriválással ellenőrizhető, hogy az y2y függvény 0<y1/e esetén szigorúan monoton fogy, 1/ey esetén szigorúan monoton nő, ezért mindkét intervallumban legfeljebb egyszer-egyszer veszi fel az 1/2-et. Behelyettesítéssel ellenőrizhető, hogy ez a két hely az 1/2 és az 1/4. Ehhez a két y értékhez tartozó megoldások: x1=1/4 és x2=1/16.


B. 3321. Legyen K egy konvex sokszög. Mutassuk meg, hogy elhelyezhető a síkon 6 darab K-val egybevágó sokszög úgy, hogy ezek mindegyikének van K-val közös határpontja, de a hét sokszög közül semelyik kettőnek nincs közös belső pontja. (5 pont)

Megoldásvázlat. A sokszög három eltolt példányát elhelyezhetjük úgy, hogy páronként érintsék egymást. A három példány egymáshoz képesti eltolásait három vektor adja meg, amelyek összege 0:

Ezekkel a vektorokkal és ellentettjeivel eltolva K-t, kapjuk a feladat megoldását:

Támogatóink:   Ericsson   Cognex   Emberi Erőforrás Támogatáskezelő   Emberi Erőforrások Minisztériuma   Nemzeti Tehetség Program    
MTA Energiatudományi Kutatóközpont   MTA Wigner Fizikai Kutatóközpont     Nemzeti
Kulturális Alap   ELTE   Morgan Stanley