KöMaL - Középiskolai Matematikai és Fizikai Lapok
 English
Információ
A lap
Pontverseny
Cikkek
Hírek
Fórum
Versenykiírás
Tudnivalók
Nevezési lap
Feladatok
Eredmények
Korábbi évek
Arcképcsarnok
Munkafüzet

Rendelje meg a KöMaL-t!

VersenyVizsga portál

Kísérletek.hu

Matematika oktatási portál

Az 1999. decemberi C-jelű matematika gyakorlatok megoldása

A közöltek csak megoldásvázlatok, esetleg csak végeredmények. A maximális pontszám eléréséhez általában ennél részletesebb megoldás szükséges. A részletes megoldásokat a beküldött dolgozatok alapján a KöMaL-ban folyamatosan közöljük.


C. 560. Egy cipó 25%-kal kisebb tömegű, mint egy fehér kenyér, ráadásul 20%-kal drágább. Igaz viszont, hogy a cipó az utolsó morzsáig elfogy, míg a kenyér 15%-a mindig ránkszárad. Ugyanakkora fogyasztást feltételezve hány százalékkal költünk többet, ha cipót veszünk, mint ha kenyeret?

Végeredmény: 36%-kal.


C. 561. Keressük meg azokat a p prímeket, amelyekre a p2+11 számnak pontosan 6 pozitív osztója van.

Megoldásvázlat. A páratlan négyzetszámok 4k+1 alakúak, a 3-mal nem osztható négyzetszámok pedig 3k+1 alakúak. Ezért, ha p>3, akkor p2+11 osztható 12-vel, ugyanakkor legalább 52+11=36. Egy ilyen számnak biztosan van legalább 7 osztója: 1, 2, 3, 4, 6, 12, és önmaga. A 3-nál nagyobb prímszámok tehát nem megoldások.

p=2 esetén p2+11=15, aminek csak 4 osztója van.

p=3 esetén p2+11=20, aminek 6 osztója van.

Az egyetlen megoldás tehát p=3.


C. 562. Keressük meg azt a pozitív egész n számot, amelyre

Megoldásvázlat. A nevezőket gyöktelenítve

A megoldás n=1012-1=10200.


C. 563. Egy O középpontú, r sugarú körben az átmérőnél kisebb húr legyen AB, az AO és BO sugarak által meghatározott kisebb körcikkbe beírt kör sugara pedig . Adjuk meg AB-t r és segítségével.

Megoldásvázlat. Az ábra jelöléseit használva az OBE és OCD háromszögek hasonlóságából


C. 564. Egy téglatest oldalélei 26, 20 és 8 egység hosszúak. A 26x8-as lapok fölé építsünk olyan egyenes sátortetőket, amelyek ,,ferde'' éleinek hossza 13, ,,vízszintes'' éle pedig 20 egység. Mekkora a téglatest azon részének térfogata, amelyet úgy kapunk, hogy eltávolítjuk a téglából a sátortetőknek a téglatesthez illeszkedő lapjukra vonatkozó tükörképeit?

Megoldásvázlat. A feladat értelmezése problémát okozhatott, mert mi sátortető alatt nem az építészeti definíciót értettük, hanem a hétköznapit.


1. ábra

A "sátortető" legfontosabb adatait a Pithagorasz-tételből könnyen kiszámíthatjuk (1. ábra).

A két sátortető tükörképe egymásba lóg, mert magasságaik összege nagyobb 20 egységnél. Ezért ugyanazt az eredményt kapjuk, ha a sátortetőket 10 egység magasan elvágjuk, és két csonka sátortetőt távolítunk el (2. ábra).


2. ábra

Egy-egy csonka sátortetőt az ábrán látható módon szétbonthatjuk négy gúlára, négy darab háromszög alapú hasábra és egy téglatestre. Ezek térfogatát kivonva az eredeti téglatest térfogatából, megkapjuk a maradék test (3. ábra) térfogatát:

TestMéretTérfogat
Eredeti téglatest 8x20x26 4160
8 darab gúla (10/3)x(5/2)x10 222
4 darab háromszög alapú hasáb (5/2)x10x(4/3) 66
4 darab háromszög alapú hasáb (10/3)x10x21 1400
2 darab téglatest (4/3)x21x10 560
A maradék test   1911

A sátortetők elhagyásával kapott test térfogata tehát 1911 egység.


3. ábra
Támogatóink:   Ericsson   Cognex   Emberi Erőforrás Támogatáskezelő   Emberi Erőforrások Minisztériuma   Nemzeti Tehetség Program    
MTA Energiatudományi Kutatóközpont   MTA Wigner Fizikai Kutatóközpont     Nemzeti
Kulturális Alap   ELTE   Morgan Stanley