KöMaL - Középiskolai Matematikai és Fizikai Lapok
 English
Információ
A lap
Pontverseny
Cikkek
Hírek
Fórum
Versenykiírás
Tudnivalók
Nevezési lap
Feladatok
Eredmények
Korábbi évek
Arcképcsarnok
Munkafüzet

Rendelje meg a KöMaL-t!

VersenyVizsga portál

Kísérletek.hu

Matematika oktatási portál

Matematikából kitűzött gyakorlatok és feladatok
2000. március

Kérjük, olvassa el a versenykiírást.


A C pontversenyben kitűzött (könnyebb) gyakorlatok

C.575. "Nos, hát mondja meg nekem, hogy ha Pozsonyból Brassóba mindennap két postakocsi közlekednék, Brassóból Pozsonyba pedig ugyanannyi, ha mármost föltesszük, hogy az út tíz napig tart, mennyi kocsival találkozik ön útközben, míg Pozsonyból egy postakocsin ülve Brassóba ér?" 

Javasolta: Mikszáth Kálmán, Fogaras

C.576. Adjuk meg azt a legkisebb pozitív egész számot, amellyel az 1999-et megszorozva a kapott szám utolsó 4 jegye 2001.

Braun Melinda ötlete, Szeged

C.577. Egy fiók mélyén három pár zokni van, amelyek kissé különböznek egymástól. A fiókból egyesével kihalászva a zoknikat, mennyi annak a valószínűsége, hogy három húzás után még nem lesz a kivett zoknik között összetartozó pár?

C.578. Egy háromszög csúcsainak koordinátái: A(2;-1), B(3;1), C(21999;22000). Számítsuk ki az ABC háromszög területét.

C.579. Egy körlapot két sugara mentén két darabra vágunk. A kapott körcikkekből kúp alakú tölcséreket formálunk. Akkor lesz-e legnagyobb a tölcsérek össztérfogata, ha félkörökből indulunk ki?


A B pontversenyben kitűzött feladatok

B.3352. Ha egy hajó legénységének létszámát megszorozzuk a legénység létszámánál eggyel kisebb számmal, akkor tizenöttel nagyobb számot kapunk, mint ha a kapitány életkorát megszoroznánk a legénység létszámánál kettővel kisebb számmal. Hogy hívják a kapitányt?  (3 pont)

Elhangzott a Repeta című műsorban

B.3353. Mennyi

értéke? (Az egész rész jele [ ].) (4 pont)

Javasolta: Ábrány Miklós, Beregszász

B.3354. Adott a síkon két metsző egyenes és egy rajtuk kívül elhelyezkedő P pont. Szerkesszük meg a két egyenesen azt az X ill. Y pontot, amelyre az XY szakasz átmegy P-n és PX.PY minimális. (5 pont)

B.3355. Bizonyítsuk be, hogy egy háromszög pontosan akkor derékszögű, ha valamelyik két hozzáírt kör sugarának szorzata egyenlő a háromszög területével. (4 pont)

Javasolta: Bíró Bálint, Eger

B.3356. Mutassuk meg, hogy két szomszédos egész szám negyedik hatványának különbsége végtelen sok esetben bontható fel két négyzetszám összegére. (4 pont)

B.3357. Van-e olyan négyzetszám, amelynek ugyanannyi 3k+1 alakú pozitív osztója van, mint 3k+2 alakú? (4 pont)

B.3358. Bizonyítsuk be, hogy 4 különböző valós szám között van olyan kettő: a és b, amelyekre

(5 pont)

Mezei József, Vác

B.3359. Bizonyítsuk be, hogy ha az x3-3x-1=0 egyenlet valós x1, x2, x3 gyökeire x1<x2<x3, akkor x32-x22=x3-x1. (5 pont)

Javasolta: Mihalovics Sándor, Esztergom

B.3360. Az ABC háromszög súlypontja S, az AB és AC oldalak felezőpontja E illetve F. Igazoljuk, hogy az AESF négyszög pontosan akkor húrnégyszög, ha AB2+AC2=2BC2. (4 pont)

Javasolta: Kiss Sándor, Szatmárnémeti

B.3361. Adottak a G1 és a G2 gömbök. Legyen K1 a G1 gömbbe, K2 a G2 gömbbe írt kocka. Mutassuk meg, hogy annak a 64 vektornak az összege, amelynek kezdőpontja a K1 egyik csúcsa, végpontja pedig a K2 egyik csúcsa, nem függ a kockák helyzetétől. (3 pont)


A pontversenyben kitűzött nehezebb feladatok

A.233. Definiáljuk az (an) sorozatot a következőképpen: a0=a1=1, (n+3)an+1=(2n+3)an+3nan-1. Mutassuk meg, hogy a sorozat egész számokból áll.

A.234. Az A, B, és C betűk felhasználásával szavakat (véges hosszúságú betűsorozatokat) készítünk. Egy szóval a következő műveleteket végezhetjük:

a) A szóban kiválasztunk néhány egymás utáni betűt - esetleg csak egyetlen egyet, vagy akár a teljes szót -, és ,,megduplázzuk'', például BBCACBBCABCAC;

b) Az a) lépés visszafelé: Ha valahol a szóban két egymás utáni részlet megegyezik, akkor az egyiket elhagyjuk: ABCABCBCABCBC.

Igazoljuk, hogy ilyen lépések sorozatával bármelyik szóból eljuthatunk egy legfeljebb 8-betűs szóhoz.

A.235. Legyen a adott komplex szám. Mi a mértani helye azon b komplex számoknak, amelyekhez léteznek olyan nemnegatív x1,x2,...,xn valós számok és egységnyi abszolút értékű z1,z2,...,zn komplex számok, hogy x1+x2+...+xn=1, x1z1+x2z2+...+xnzn=a és x1z12+x2z22+...+xnzn2=b?


A matematika gyakorlatok és feladatok megoldásai a következő címekre küldhetők:


Bolyai János Matematikai Társulat (KöMaL feladatok); Budapest, Pf. 433. 1371
illetve
megoldas@komal.elte.hu (Az interneten keresztül történő beküldésről olvassa el tájékoztatónkat)

A beküldési határidő: 2000. április 15.


Vigyázat! ,,Áprilisi'' feladat!

Támogatóink:   Ericsson   Cognex   Emberi Erőforrás Támogatáskezelő   Emberi Erőforrások Minisztériuma   Nemzeti Tehetség Program    
MTA Energiatudományi Kutatóközpont   MTA Wigner Fizikai Kutatóközpont     Nemzeti
Kulturális Alap   ELTE   Morgan Stanley