KöMaL - Középiskolai Matematikai és Fizikai Lapok
 English
Információ
A lap
Pontverseny
Cikkek
Hírek
Fórum
Versenykiírás
Tudnivalók
Nevezési lap
Feladatok
Eredmények
Korábbi évek
Arcképcsarnok
Munkafüzet

Rendelje meg a KöMaL-t!

Kifordítható

tetraéder

VersenyVizsga portál

Kísérletek.hu

Matematika oktatási portál

A 2000. áprilisi C-jelű matematika gyakorlatok megoldása

A közöltek csak megoldásvázlatok, esetleg csak végeredmények. A maximális pontszám eléréséhez általában ennél részletesebb megoldás szükséges. A részletes megoldásokat a beküldött dolgozatok alapján a KöMaLban folyamatosan közöljük.


C. 580. Kati dolgozatot írt matematikából, majd még egy javító dolgozatot is írt. A tanár a két jegy helyett azok átlagát írta be az osztályozó füzetébe. Bizonyítsuk be, hogy Kati akkor jár jobban ezzel, ha a többi matematika jegyeinek átlaga nagyobb a két dolgozatjegy átlagánál.

Kovács Gabriella, Budapest

Megoldásvázlat. Jelölje a két dolgozat átlagát b és tegyük fel, hogy ezen kívül Kati n (n1) dolgozatot írt, melyek átlaga c. Ekkor Kati összes jegyének átlaga , míg ha a két jegy helyett azok átlaga kerül beírásra, akkor a beírt jegyek átlaga . Mármost A2>A1(n+2)[nc+b]>(n+1)[nc+2b]nc>nbc>b, és ezt kellett bizonyítanunk.


C. 581. Négy jármű egyszerre indul el A-ból, és egymást követően egyenlő időközönként érkezik meg B-be. A leggyorsabb és a leglassúbb jármű sebessége v1, ill. v4. Mekkora a másik két jármű sebessége?

Megoldásvázlat. Legyen a járművek sebessége v1>v2>v3>v4, A és B távolsága s, és az út megtételéhez szükséges idők rendre t1<t2<t3<t4. Ekkor t1v1=t2v2=t3v3=t4v4=s. Tudjuk még, hogy t2-t1=t3-t2=t4-t3. Innen , és így , . Innen adódik. Hasonlóképpen .


C. 582.  Az ábrán látható sáv szélessége 1 m. Mekkora a területe?

Nagy Zoltán 9. o.t., Budapest

Végeredmény. 200/3 m266,67 m2.


C. 583.  Egy gúla alapja egység oldalú négyzet. Egyik oldaléle szintén egységnyi hosszú és egybeesik a gúla magasságával. Mekkora a legnagyobb lapszöge?

Salát Máté 9. o.t., Budapest

Megoldásvázlat. Három egybevágó ilyen test összeilleszthető egy kockává az ábrán látható módon. Ezek közös élénél van a keresett szög, mivel a gúla összes többi lapszöge 90o vagy 45o-os. Három egybevágó szög összege 360o, tehát a gúla legnagyobb lapszöge 360o/3=120o.

Salát Máté dolgozata alapján


C. 584. Egy körnek a területét vagy a kerületét tudjuk jobban (kisebb relatív hibával) közelíteni a körbe írt szabályos n-szög segítségével?

Megoldásvázlat. Tekintsünk egy r sugarú körbe írt szabályos n-szöget, ezt a kör középpontjából a csúcsokba húzott sugarak n db. egybevágó egyenlőszárú háromszögre bontják. Egy ilyen háromszög alapja 2rsin, magassága pedig rcos. Ezért az n-szög kerülete ill. területe 2rnsin és r2nsincos nagyságú. Ezért a sokszög és a kör kerületének aránya K=sin, míg a területek aránya T=sincos=K.cos, tehát K>T. Ez pedig azt jelenti, hogy a kerület közelítésének relatív hibája, 1-K, kisebb a terület közelítésének relatív hibájánál, ami 1-T.

Támogatóink:   Ericsson   Cognex   Emberi Erőforrás Támogatáskezelő   Emberi Erőforrások Minisztériuma   Nemzeti Tehetség Program    
MTA Energiatudományi Kutatóközpont   MTA Wigner Fizikai Kutatóközpont     Nemzeti
Kulturális Alap   ELTE   Morgan Stanley