KöMaL - Középiskolai Matematikai és Fizikai Lapok
Belépés
Regisztráció
 English
Információ
A lap
Pontverseny
Cikkek
Hírek
Fórum
Versenykiírás
Tudnivalók
Nevezési lap
Feladatok
Eredmények
Korábbi évek
Arcképcsarnok
Munkafüzet

Rendelje meg a KöMaL-t!

ELTE

VersenyVizsga portál

Kísérletek.hu

Matematika oktatási portál

A 2000. májusi C-jelű matematika gyakorlatok megoldása

A közöltek csak megoldásvázlatok, esetleg csak végeredmények. A maximális pontszám eléréséhez általában ennél részletesebb megoldás szükséges. A részletes megoldásokat a beküldött dolgozatok alapján a KöMaL-ban folyamatosan közöljük.


C. 585. Bizonyos magnókazettákban 0,0075 mm vastagságú szalag tekeredik a 11 mm átmérőjű orsókra. Az orsók középpontjainak távolsága 42 mm. Legfeljebb hány méter szalag lehet egy használható magnókazettában? (A tele orsóról a szalagnak akadálytalanul át kell jutnia az üres orsóra.)

Megoldásvázlat. Ha egy bizonyos helyzetben a két tekercs sugarait R1 és R2 jelöli, akkor (mm-ekben számolva) R1+R242 kell legyen. Ekkor (felülről nézve) az orsókra csévélt magnószalag összterülete t=(R12+R22)-2r2, ahol r=5,5 az egyes orsók sugara. Másrészt t=l.d, ahol l a szalag hossza, d=0,0075 pedig annak vastagsága. Ha R12+R22 rögzített, akkor R1+R2 pontosan akkor a lehető legnagyobb, ha (R1+R2)2, vagyis a lehető legnagyobb. A számtani és mértani közepek közötti egyenlőtlenség alapján (az egyenlőség esetének diszkusszióját is figyelembe véve) ez pedig akkor következik be, ha R1=R2. Vagyis a lehető leghosszabb magnószalagot feltételezve, a két tekercs pontosan a műsoridő felénél fog érintkezni, amikor R1=R2=21. A szalag hossza ebben az esetben (mm-ben) , vagyis körülbelül 344,1 méter.


C. 586. Legfeljebb hány oldalú az a konvex sokszög, amelynek nincs két szomszédos tompaszöge?

Megoldásvázlat. Ha a sokszögnek n oldala van, akkor szögeinek összege (n-2)180o. Ha ebből k nem tompaszög, akkor (n-2)180o(n-k)180o+k.90o. Innen k4 és egyenlőség csak k=n esetén lehet. Így vagy k=n=4 vagy k3. Ha nincs két szomszédos tompaszög, n2k kell legyen, így n6. Hat oldala lehet is egy ilyen sokszögnek, például ha egy szabályos hatszög minden oldalára egy fél szabályos háromszöget illesztünk az ábrán látható módon (ennek a hatszögnek három derékszöge és három 150o-os szöge lesz):


C. 587. Legyen n pozitív egész. Az x-tengely n abszcisszájú pontját összekötjük az y-tengely n-1 és n+1 ordinátájú pontjaival, továbbá az y-tengely n ordinátájú pontját összekötjük az x-tengely n-1, illetve n+1 abszcisszájú pontjaival. Mekkora területű négyszöget zár közre ez a négy szakasz?

Megoldásvázlat. Legyenek az ábra szerint A(0,n-1), B(0,n), C(0,n+1), D(n-1,0), E(n,0), F(n+1,0).

T=T(EPBQ)=T(AEC)-T(AQB)-T(BPXC). Itt T(AEC)=.2.n, T(AQB)=yq és T(BPC)=, ahol (xp,yp) és (xq,yq) a P és Q pont koordinátái. Szimmetria okokból xp=yp és xq=yq. A CE egyenesének egyenlete nx+(n+1)y=n(n+1), innen . A BD egyenesének egyenlete (n-1)x+ny=(n-1)n, innen , .


C. 588. Írjuk fel az f:(-, -2)R, x2x2+8x+7 függvény inverzét.

Megoldásvázlat. Ha y=2x2+8x+7=2(x+2)2-1, akkor (x+2)2=(y+1)/2. Minden x<-2 értékhez egy y>-1 érték tartozik, és minden y>-1 esetén (y+1)/2 >0 és létezik pontosan egy z<0 szám, melyre z2=(y+1)/2, vagyis pontosan egy x<-2 szám, melyre (x+2)2=(y+1)/2. A függvény inverze tehát a g:(-1,)R

függvény.


C. 589. Egy V keresztmetszetű vízlevezető árokban elakadt egy egyenes bot. A bot két vége az árok két különböző oldalához ér hozzá, és a két oldal síkjával azonos nagyságú szöget zár be. Mutassuk meg, hogy ekkor a bot két vége egyenlő távolságra van az árok aljától.

Megoldásvázlat. Jelölje az árok két oldalának síkját S1 és S2. A botnak Si-n levő végét jelölje Pi, mely az árok aljától mi távolságra van (i=1,2). Tegyük fel, hogy a bot az S1, S2 síkokkal szöget zár be, az S1 és S2 síkok szöge pedig . Ekkor P1 távolsága az S2 síktól m1sin, így P2 távolsága az S1 síktól m2sin. Másrészt mindkét távolság lsin-val egyenlő, ahol l a bot hossza. Mivel sin0, ebből m1=m2 következik.

Támogatóink:   Ericsson   Cognex   Emberi Erőforrás Támogatáskezelő   Emberi Erőforrások Minisztériuma   Nemzeti Tehetség Program    
MTA Energiatudományi Kutatóközpont   MTA Wigner Fizikai Kutatóközpont     Nemzeti
Kulturális Alap   ELTE   Morgan Stanley