KöMaL - Középiskolai Matematikai és Fizikai Lapok
Belépés
Regisztráció
 English
Információ
A lap
Pontverseny
Cikkek
Hírek
Fórum
Versenykiírás
Tudnivalók
Nevezési lap
Feladatok
Eredmények
Korábbi évek
Arcképcsarnok
Munkafüzet

Rendelje meg a KöMaL-t!

VersenyVizsga portál

Kísérletek.hu

Matematika oktatási portál

A 2000. májusi számban kitűzött fizika elméleti feladatok megoldásai

A közöltek csak megoldásvázlatok, esetleg csak végeredmények. A maximális pontszám eléréséhez általában ennél részletesebb megoldás szükséges. A részletes megoldásokat a beküldött dolgozatok alapján a KöMaL-ban folyamatosan közöljük.


P. 3344. A kerékpárdinamó vízszintes forgó tárcsája az R sugarú kerék tengelyétől r távolságra, pontosan a tengely fölött ér hozzá a kerékhez. A tárcsa és a kerék csúszás nélkül gördülnek egymáson, s a kerék is csúszás nélkül gördül a talajon. Mekkora sebességgel halad előre a tárcsának az érintkezéssel átellenes pontja, ha a kerékpár v sebességgel halad? (5 pont)

Lánczos Kornél verseny, Székesfehérvár

Végeredmény: v(1-r/R).


P. 3345. Egy =30o-os hajlásszögű lejtőn lévő, m=6 kg tömegű, r=0,1 m sugarú tömör hengert a palástjához rögzített fonál segítségével tartunk egyensúlyban. A henger a lejtőn nem csúszik meg.

a) Mekkora F erővel tudjuk egyensúlyban tartani a hengert, ha a fonalat függőlegesen tartjuk?

b) Milyen irányban kell húzni a fonalat, hogy a lehető legkisebb erővel tarthassuk a hengert? Mekkora ez az erő?

c) Legalább mekkorának kell lennie a súrlódási együtthatónak az a), illetve b) esetben? (5 pont)

Közli: Kotek László, Pécs

Megoldásvázlat. Jelölje a kötél függőlegessel bezárt szögét (úgy, hogy az akkor legyen pozitív, ha a kötél a lejtő felé hajlik)! Az erők és a forgatónyomaték egyensúlyát leíró egyenletek

+Fcos+Ssin=mg,

Fsin+Scos-Nsin=0

és

(F-S)r=0.

Itt S a súrlódási erő (amely a lejtő mentén fölfelé hat) N pedig az az erő, amellyel a lejtő nyomja a hengert. Ezek megoldása F-re, N-re és S-re

a) Mivel ilyenkor =0,

.

b) F akkor a legkisebb, ha a nevező a legnagyobb, azaz sin(+)=1, tehát =90o- (a kötél párhuzamos a lejtővel). Ilyenkor F=(mgsin)/2=mg.

c) Mivel SN,

.

A kérdéses esetekben tg =0,58, illetve (tg )/2=0,29.

A feladat geometriai megfontolásokkal (szerkesztéssel) is megoldaható. Függőleges fonál esetén a nehézségi erő és a fonálerő eredője függőleges, tehát a henger és a lejtő között ható erő is függőleges kell legyen. A minimális súrlódási együttható az érintkező felületek normálvektora és a közöttük ható erő által bezárt szögnek (tehát -nak) a tangense.

A henger és a lejtő érintkezési pontjára vonatkoztatva csak a nehézségi erőnek és a fonálerőnek van forgatónyomatéka. Az előbbi adott érték, tehát az utóbbi is meghatározott nagyságú. A fonálerő akkor a legkisebb, ha az erőkar a lehető legnagyobb, nevezetesen 2r, s ilyenkor a fonál párhuzamos a lejtő síkjával. A lejtő által kifejtett erő hatásvonalának át kell mennie a nehezségi erő és a fonálerő hatásvonalainak metszéspontján, s ebből a feltételből leolvasható a minimális súrlódási együttható és a fonálerő nagysága is.


P. 3346. Egy csonkakúp-palást alakú, lefelé szélesedő edény fenéklapjához elhanyagolható súlyú, jól illeszkedő korongot szorítunk, majd az edényt az ábrán látható víztartályba merítjük, és a palástjánál fogva a tartályhoz rögzítjük. A kiszorított víz térfogata 1 dm3. Ezután a korongra egy 1 kg-nál kicsit nagyobb tömegű jégdarabot helyezünk. Mi történik, ha a jég elolvad? (Az olvadó jég nem ér hozzá az edény oldalához.) (5 pont)

Közli: Gálfi László, Budapest

Megoldásvázlat. Mivel az edény lefelé szélesedik, a fenéklapot nagyobb erő nyomja felfelé, mint a kiszorított (azaz 1 dm3) víz súlya, így az először megtartja a jeget. Ahogy a jég olvadni kezd, a folyadékfelszín emelkedésével a fenéklapot egyre nagyobb erő nyomja lefelé. Amikor a jég teljesen elolvad, a belőle származó víz térfogata nagyobb, mint 1 liter, tehát az edényben csak úgy férne el, hogy a belső vízszint magasabb lenne, mint a külső. Nyilvánvaló, hogy ez a helyzet nem alakulhat ki, a korong már hamarabb leválik az edény fenekéről. Kérdés: mikor?

Belátjuk, hogy a fenéklap még azelőtt leválik, minthogy a belső folyadékszint elérné a külsőt. Tegyük fel, hogy rögzítjük az edény alját! Amikor a fokozatosan emelkedő belső vízszint éppen megegyezik a külsővel, a jég még nem úszhat. Ha ezt tenné, a belső vízszint a jég teljes elolvadása után is éppen ugyanakkora lenne, mint a külső, de ez ellentmont annak a ténynek, hogy a jég tömege 1 kg-nál nagyobb. (Közismert, hogy egy úszó jégdarab olvadása során nem változik a vízszint.) Azonos külső és belső vízmagasságnál tehát a jég még közvetlenül is ránehezedik a fenéklapra, tehát a fenéklapot lefelé nyomó erő nagyobb, mintha csak a hidrosztatikai nyomás okozná. Ezek szerint mire a belső folyadékszint eléri a külsőt, a fenéklapot belülről már nagyobb erő nyomja lefelé, mint kívülről felfelé, tehát a fenéklapnak --- ha nem rögzítjük --- még azelőtt le kell válnia az edényről, mielőtt a belső folyadékszint elérné a külsőt.


P. 3347. Legalább hányszorosa legyen a fonálinga végén lévő, pontszerűnek tekinthető test tömege a fonál tömegének, hogy az inga lengésideje legfeljebb 1 %-kal térjen csak el a matematikai inga lengésidejétől? (4 pont)

Közli: Simon Péter, Pécs

Megoldásvázlat. Lengés közben a fonal feszes, ezért merev testnek, az inga pedig ``szabályos'' fizikai ingának tekinthető, melynek a lengésideje

Itt =m+M a fonal (m) és a rá akasztott test (M) tömegének az összege, =ml2/3+Ml2 a teljes tehetetlenségi nyomaték, a súlypont tengelytől mért távolsága, azaz

A

feltételből m/M=0,127 adódik.


P. 3348. Az ábrán látható hosszú, vízszintes sínpárt R ellenállással hidaljuk át. A sínek távolsága l, elektromos ellenállásuk elhanyagolható. A sínpáron súrlódás nélkül csúszhat egy m tömegű, l hosszúságú vezető rúd, függőleges, B indukciójú homogén mágneses térben.

A vezető rúdra már hosszú ideje F0 nagyságú erőt fejtünk ki, melynek hatására állandósult sebességgel csúszik. Egy bizonyos P pontnál a külső erőhatást megszüntetjük. Mekkora utat tesz meg a vezető rúd a P ponttól a megállásig? (5 pont)

Varga István, Békéscsaba feladata alapján

Megoldásvázlat. Ha az hosszúságú vezető rúdban I áram folyik, a B mágneses indukció miatt F=IB erő hat rá. Másrészről az R ellenálláson eső U=IR feszültség egyenlő a rúdban indukálttal, azaz IR=Bv, ahol v a rúd sebessége. Így, az erő és a sebesség iranyát is figyelembe véve a mágneses mező

erővel hat a rúdra. A kezdeti állapotban |F|=F0, tehát a rúd állandósult sebessége v0=F0R/(B)2. Ha a rúdra ható külső F0 erőt megszüntetjük, a mágneses mező által kifejtett erő a rudat fékezi, és az az

egyenlet szerint lassul. Inen leolvasható, hogy a sebesség s út megtétele alatt

értékkel csökken. Mivel a lefékeződes teljes s útja alatt a sebesség változás éppen -v0

Az

ma=-IB

egyenlet hasonló ,,integrálásával'' azt kapjuk, hogy a lefékeződés alatt az R ellenálláson

töltés halad át.


P. 3349. Egymástól jó távol helyezkedik el két egyforma szupravezető gyűrű. Az egyik (A) gyűrűben I0 erősségű áram folyik, a másikban (B) nem folyik áram. A két gyűrűt lassan közelítjük egymáshoz. Mekkora áram fog folyni A-ban, amikor a másik gyűrűben I1 erősségű áram folyik? (Egy szupravezető gyűrű által körülfogott mágneses fluxus értéke nem változhat meg.) (5 pont)

Közli: Bodor András, Budapest

Megoldásvázlat. Mivel a két gyűrű egyforma, az önindukciós együtthatójuk azonos, L. A kölcsönös indukciós együtthatók mindig azonosak, jelölje ezt L'! Ez az érték a gyűrűk helyzetével és távolságával változik, amíg a gyűrűk egymástól nagyon messze vannak, addig L'=0, de azok közelítésével L' megnő. Az áramokat IA-val és IB-vel jelölve az egyes gyűrűk által korülvett fluxusra mindig fennáll, hogy

L'-t kiküszöbölve az

IA2-I0IA-IB2=0

egyenlet adódik, melynek a megoldása IB=I1 mellett IA-ra

Mivel az I1 olyan irányú, hogy a fluxusa csökkenteni akarja az A gyűrű fluxusát, a változatlan A-hoz IA-nak nőnie kell, így a felső előjel a helyes, tehát

(A másodfokú egyenlet 2 megoldásából úgy is kiválaszthatjuk a fizikailag megfelelőt, hogy megfontoljuk, I1=0 esetén IA=I0 kell legyen.)


P. 3350. Vízszintes asztallapon fekvő M tömegű, r sugarú vékony, keskeny abroncs belsejében, az abroncshoz érintkezve áll egy m tömegű kis test. Hogyan fog mozogni az abroncs középpontja, ha a kis testet érintő irányú, v0 nagyságú kezdősebességgel elindítjuk? Mennyi idő múlva és hol lesz újra zérus az abroncs sebessége? (A súrlódás mindenütt elhanyagolható.) (5 pont)

Közli: Gnäadig Péter, Budapest

Megoldásvázlat. A tömegközéppont, mely a kis test és az abroncs középpontja közötti távolságot M:m arányban osztja, egyenletes

sebességgel halad. Ezt a kis test és az abroncs középpontja

szögsebességgel Mr/(m+M) ill. mr/(m+M) sugarú körön körbe-keringik. Az abroncs újra legközelebb

periódus-idő múlva lesz éppen nyugalomban. Eközben az abroncs középpontjának elmozdulása

Az abroncs középpontjának pályája ciklois (egy egyenesvonalú egyenletes mozgás és egy ugyanakkora kerületi sebességű egyenletes körmozgás eredője).


P. 3351. v0 sebességgel, súrlódás nélkül mozgó m tömegű pontszerű test rugalmasan ütközik a k rugóállandójú rugóval összekapcsolt két, egyenként M tömegű, pontszerű testből álló R rendszerrel.

a) Legalább mekkora legyen a m/M arány, hogy egy második ütközés is létrejöjjön az m tömegű test és az R rendszer között?

b) Legfeljebb mennyi idő telik el a két ütközés között? (6 pont)

Francia felvételi feladat (École Normale Superieure, Párizs)

Megoldásvázlat. Közvetlenül az ütközés után a m illetve a baloldali M tömegű test sebessége rendre

Ettől fogva az R rendszer tömegközéppontja V/2 sebességgel halad, miközben a rendszer

körfrekvenciával úgy rezeg, hogy a sebesség-amplitúdó is V/2. Így a baloldali M tömegű test elmozdulása és pillanatnyi sebessége (az ütközés pillanatát véve t=0-nak)

Ugyanakkor a m tömegű test egyenletesen mozog, tehát az elmozdulása

s(t)=vt .

Egy újabb ütközéskor

s(t)=S(t)    azaz    

,,Rendes'' ütközéskor a balról jövő m tömegű test sebessége nagyobb mint az elötte haladó bal oldali M tömegűé, ellenkező esetben a balról jövő test nem képes utolérni a másikat. Határesetben az ütköző testek sebessége azonos (éppen, hogy csak érintik egymást):

v=V(t),    azaz    

Innen

    és    

A két egyenletből kapott t=tg t egyenlet megoldásait (2n-1)/2<tn<(2n+1)/2 szerint indexelve minket az t1 érdekel. Ez numerikusan könnyen megkapható: t1=4,49340954,5. Ebből a kérdéses tömegarány m/M=4,603, és az ütközésig eltelt idő ismeretében megkapható.

Megjegyzés: A fenti trigonometrikus egyenlet a következő iterációs eljárással is megoldható. Ha megállapodunk, hogy /2<arctg x</2, akkor az

xm+1=+arctg xm,    0x0</2

rekurzióval definiált sorozat határértéke éppen

A fenti sorozat nagyon gyorsan konvergál, x0=0-ból indulva x8 már a fenti 8 jegyre pontos érték.

Támogatóink:   Ericsson   Cognex   Emberi Erőforrás Támogatáskezelő   Emberi Erőforrások Minisztériuma   Nemzeti Tehetség Program    
MTA Energiatudományi Kutatóközpont   MTA Wigner Fizikai Kutatóközpont     Nemzeti
Kulturális Alap   ELTE   Morgan Stanley