KöMaL - Középiskolai Matematikai és Fizikai Lapok
Belépés
Regisztráció
 English
Információ
A lap
Pontverseny
Cikkek
Hírek
Fórum
Versenykiírás
Tudnivalók
Nevezési lap
Feladatok
Eredmények
Korábbi évek
Arcképcsarnok
Munkafüzet

Rendelje meg a KöMaL-t!

VersenyVizsga portál

Kísérletek.hu

Matematika oktatási portál

Matematikából kitűzött gyakorlatok és feladatok
2000. november

Kérjük, olvassa el a versenykiírást.


A C pontversenyben kitűzött (könnyebb) gyakorlatok

C. 600. Személygépkocsival utazunk Budapestről Kassa felé állandó sebességgel. Meglátunk egy kilométert jelző táblát, amin egy kétjegyű szám van. Fél óra múlva olyan táblához érünk, amelyen az előbbi számjegyek állnak fordított sorrendben. Újabb 30 perc múlva olyan táblához érünk, amelyen a két eddigi számjegyen kívül még egy 0 is van. Mekkora sebességgel haladunk?

C. 601. Oldjuk meg a következő egyenletet:

Javasolta: Gyanta Nándor, Budapest

C. 602. Legkevesebb hány egységkockából lehet összerakni egy nagy kockát úgy, hogy belül legyen a kis kockáknak több, mint a fele?

C. 603. Határozzuk meg az f(x)=(x2+x+1)/(x2+1) függvény értékkészletét.

C. 604. Az ABC háromszög beírt körének középpontja O, területe pedig t. Mutassuk meg, hogy

2t=AO2sin+BO2sin+CO2sin.

Javasolta: Mihalovics Sándor, Esztergom


A B pontversenyben kitűzött feladatok

B. 3402. Két iskola diákjai egy teszten a következő eredményt érték el:

  • Az első iskolába járó diákok átlaga 74 pont, ebből a fiúké 71, a lányoké pedig 76 pont.
  • A másik iskolába járó diákok átlaga 84 pont, ebből a fiúké 81, a lányoké pedig 90 pont. Ha a két iskolában a fiúk átlaga összesen 79 pont volt, mennyi volt a lányoké? (3 pont)

    B. 3403. Bizonyítsuk be, hogy ha az a, b, c valós számokra , akkor . (3 pont)

    Javasolta: Székelyhidi Tamás, Ercsi

    B. 3404. Egy 10 egység élű kocka egyik csúcsából kiinduló három élének végpontja A, B és C. Az ABC síkkal párhuzamos S1 és S2 síkok a kockát három részre osztják, melyek térfogatának aránya 251:248:251. Mekkora a két sík távolsága? (5 pont)

    B. 3405. Van öt golyónk. Kilenc mérést hajthatunk végre egy egykarú mérlegen, amelyen egyszerre egy vagy két golyó súlyát mérhetjük meg. Megtörténhet azonban, hogy a kilenc mérés egyikének az eredményét tévesen jegyezzük föl. Megtudhatjuk-e ennek ellenére mind az 5 golyó súlyát? (4 pont)

    Javasolta: Surányi László, Budapest

    B. 3406. Egy sokszög csúcsainak halmaza olyan (x,y) koordinátájú pontokból áll, amelyekre x és y pozitív egészek, továbbá x|2y+1 és y|2x+1. Mekkora lehet legfeljebb a sokszög területe? (4 pont)

    Javasolta: Mihalovics Sándor, Esztergom

    B. 3407. Arnold, Bendegúz, Cézár, Dorottya, Egon és Ferdinánd szerepjátékhoz készülődik. Még nem döntötték el, melyikük legyen a kalandmester. (Ebben a játékban egyikük a kalandmester, a többiek alkotják a csapatot.) A kalandmester személyéről sorsolással kívánnak dönteni, ehhez a játékban használt 10 oldalú ,,dobókockával'' dobnak a következőképpen:

    Előre meghatározott sorrendben mindenki egyszer dob a kockával. Az lesz a kalandmester, aki először 1-est, vagy 2-est dob. Ha a kör végére nincs meg a kalandmester, akkor újra kezdik ugyanebben a sorrendben a dobásokat mindaddig, amíg valaki 1-est vagy 2-est nem dob.

    Dorottya még sohasem vezetett ebben a társaságban játékot, és most nagyon szeretne. A fiúk udvariasak és megengedik neki, hogy megválassza azt, hogy hányadiknak dob. Te mit javasolnál Dorottyának? (3 pont)

    Javasolta: Pogány Gyula, Szolnok

    B. 3408. Egy szabályos 2n oldalú sokszög minden csúcsára egy-egy egész számot írunk úgy, hogy a szomszédos csúcsokra írt számok különbsége 1. Nevezzük hegyszámnak azokat a számokat, amelyek nagyobbak mindkét szomszédjuknál és völgyszámnak azokat, amelyek kisebbek mindkét szomszédjuknál. Bizonyítsuk be, hogy a hegyszámok összegéből a völgyszámok összegét levonva n-et kapunk. (5 pont)

    Javasolta: Hraskó András, Budapest

    B. 3409. Tükrözzük az y=x2 parabolát az (1;1) pontra. Mi a tükörkép egyenlete? (3 pont)

    B. 3410. Egy három méter magas nagy festmény függ a falon, alsó széle egy méterrel van a néző szemmagassága felett. A kép látványa annál élvezhetőbb, minél nagyobb az a függőleges szög, amelyben látszik. Milyen távolságból nézve lesz ez a szög a lehető legnagyobb? (4 pont)

    B. 3411. Legalább hány oldalú az a szabályos sokszög, amely körülírt körének területét 1 ezreléknél kisebb hibával közelíti? (4 pont)


    A pontversenyben kitűzött nehezebb feladatok

    A. 248. Hányféleképpen lehet egy n-elemű halmaz hatványhalmazát két diszjunkt részre: az I és H halmazokra bontani úgy, hogy a következő feltételek egyszerre teljesüljenek?

    a) tetszőleges a, bI esetén abI és abI;

    b) tetszőleges a, bH esetén abH és abH;

    c) tetszőleges aI, bH esetén abI és abH.

    (Egy halmaz hatványhalmazának az összes részhalmazainak halmazát nevezzük.)

    Javasolta: Csirmaz Előd, Budapest

    A. 249. Legyenek a, b, c, t pozitív számok és abc=1. Igazoljuk, hogy

    A. 250. Tekintsük a Hanoi tornyai néven közismert játék négytornyos változatát: n darab különböző méretű korong egymásra van helyezve nagyság szerint sorban úgy, hogy alul van a legnagyobb, felül a legkisebb. A korongokat egy másik helyre kell áthelyezni a következő szabályok betartásával:

  • Egy lépésben csak egy korongot helyezhetünk át;
  • Nem tehetünk nagyobb korongot kisebb korongra;
  • Egyszerre összesen legfeljebb négy tornyot alkothatnak a korongok.

    Bizonyítsuk be, hogy a szükséges minimális lépésszám legalább és kisebb, mint .

    Énekes Béla (Tolna) ötletéből


    A matematika gyakorlatok és feladatok megoldásai a következő címekre küldhetők:


    Bolyai János Matematikai Társulat (KöMaL feladatok); Budapest, Pf. 433. 1371
    illetve
    megoldas@komal.elte.hu (Az interneten keresztül történő beküldésről olvassa el tájékoztatónkat)

    A beküldési határidő: 2000. december 15.

  • Támogatóink:   Ericsson   Cognex   Emberi Erőforrás Támogatáskezelő   Emberi Erőforrások Minisztériuma   Nemzeti Tehetség Program    
    MTA Energiatudományi Kutatóközpont   MTA Wigner Fizikai Kutatóközpont     Nemzeti
Kulturális Alap   ELTE   Morgan Stanley