KöMaL - Középiskolai Matematikai és Fizikai Lapok
 English
Információ
A lap
Pontverseny
Cikkek
Hírek
Fórum
Versenykiírás
Tudnivalók
Nevezési lap
Feladatok
Eredmények
Korábbi évek
Arcképcsarnok
Munkafüzet

Rendelje meg a KöMaL-t!

VersenyVizsga portál

Kísérletek.hu

Matematika oktatási portál

A 2000. decemberi C-jelű matematika gyakorlatok megoldása

A közöltek csak megoldásvázlatok, esetleg csak végeredmények. A maximális pontszám eléréséhez általában ennél részletesebb megoldás szükséges. A részletes megoldásokat a beküldött dolgozatok alapján a KöMaL-ban folyamatosan közöljük.


C. 605. Oldjuk meg az alábbi egyenletet.

([x] az x szám egész részét és {x} a tört részét jelöli.)

Megoldás.Az egyenlet mindkét oldalát [x]{x }-szel beszorozva kapjuk, hogy

{x }+[x]=x[x]{x }.

Mivel x=[x]+{x }, ezért a fentiekből x=x[x]{x } következik. Mivel x=0 nem megoldása az egyenletnek, ezért x-szel leosztva kapjuk, hogy 1=[x]{x }. Mivel [x] nem lehet 0, ezért 1/ [x]={x }, amiből következik, hogy x n+1/ n alakú, ahol n 1-nél nagyobb pozitív egész szám.


C. 606. Az udvaron egy téglalap alakú részt egyforma négyzetlapokkal lebetonoztak. Pontosan 20 sort raktak le, s minden sorban 35 lap van. Egy csiga elindul a téglalap egyik csúcsából az átló mentén. Hány négyzetlap belsején halad át, mire a szemközti csúcsba ér?

Megoldás.20x35=(5.4)x(5.7), tehát a téglalap átlója 5 darab 4x7-es téglalap átlójából tevődik össze. Elég tehát egy 4x7-es részt megvizsgálnunk:

Tehát a csiga 5.10=50 darab négyzetlap belsején halad át, mire a szemközti csúcsba ér.


C. 607. Egy 12 cm oldalú négyzetet a P pont körül 90o-kal elforgatunk. A két négyzet együttesen 211 cm2 területet fed le. Az elforgatott négyzetet a P körül ismét elforgatjuk 90o-kal, így egy harmadik négyzetet kapunk. A három négyzet által lefedett terület 287 cm2. Határozzuk meg a P pont helyzetét.

Javasolta: Bakonyi Gábor, Budapest

Megoldás.Jelölje az eredeti négyzetet N, 90o-os elforgatottját N', 180o-os elforgatottját pedig N''. Ha N és N' unióját forgatjuk el P körül 90o-kal, akkor N' és N'' unióját kapjuk. Mivel 76=287-211= =211-144=67. Viszont 67 kisebb 76-nál, tehát nincs ilyen P pont.


C. 608. Mekkora annak a valószínűsége, hogy egy KENO sorsolás alkalmával az 1-től 80-ig terjedő egész számok közül kisorsolt 20 szám egyikében sem fordul elő a 8-as számjegy?

Megoldás.1-80-ig 9 olyan szám van, amiben szerepel a 8-as számjegy. Tehát 71 olyan számot húzhatunk a 80-ból, ami megfelel a feltételeknek. A valószínűség pedig


C. 609. Bizonyítsuk be, hogy a 3x-4y+4=0 egyenletű egyenes a sík bármely rácspontjától racionális távolságra van.

Megoldás.A geometriai feladatgyűjtemény II. kötetének 752. feladata alapján egy P(p,q) koordinátájú pont távolsága a 3x-4y+4 egyenletű egyenestől

ami p,q esetén racionális.

Támogatóink:   Ericsson   Cognex   Emberi Erőforrás Támogatáskezelő   Emberi Erőforrások Minisztériuma   Nemzeti Tehetség Program    
MTA Energiatudományi Kutatóközpont   MTA Wigner Fizikai Kutatóközpont     Nemzeti
Kulturális Alap   ELTE   Morgan Stanley