KöMaL - Középiskolai Matematikai és Fizikai Lapok
 English
Információ
A lap
Pontverseny
Cikkek
Hírek
Fórum
Versenykiírás
Tudnivalók
Nevezési lap
Feladatok
Eredmények
Korábbi évek
Arcképcsarnok
Munkafüzet

Rendelje meg a KöMaL-t!

ELTE

VersenyVizsga portál

Kísérletek.hu

Matematika oktatási portál

Matematikából kitűzött gyakorlatok és feladatok
2001. november

Kérjük, olvassa el a versenykiírást.


A C pontversenyben kitűzött gyakorlatok

Minden C-jelű feladat helyes megoldásáért 5 pont jár.

C. 645. Ketten a következő játékot játsszák. Egy kupacból, amelyben kezdetben 7 szál gyufa van, felváltva vesznek el minden lépésben egy, két vagy három szál gyufát, amíg mind el nem fogy. Az nyer, akinél a végén páros számú gyufa van.

A kezdőnek, vagy ellenfelének van-e nyerő stratégiája? Hogyan kell játszania, hogy nyerjen?

Kvant

C. 646. A természetes számok sorozatából elhagyjuk a négyzetszámokat. A megmaradó számok sorozatában melyik a 2001-edik, és hányadik helyen áll a 2001?

Javasolta: Nádor Péter, Pécs

C. 647. Megrajzoltuk a koordinátarendszerben az \(\displaystyle f(x)={1\over x}\) függvény grafikonját. Mekkorának válasszuk az új, egymással továbbra is egyenlő egységeket a tengelyeken, ha azt akarjuk, hogy a görbe a \(\displaystyle g(x)={2\over x}\) függvény grafikonja legyen?

C. 648. Mennyi a 2log618.3log63 pontos értéke?

C. 649. Egy csonkagúla alaplapjának a területe 8 cm2, fedőlapjának a területe 1 cm2. A gúlát az alaplappal párhuzamos síkkal két egyenlő térfogatú részre osztjuk. Mekkora a síkmetszet területe?

Javasolta: Besenyei Ádám, Tatabánya


A B pontversenyben kitűzött feladatok

A B-jelű feladatokra kapható pontszám a feladatok nehézségétől függ. Minden hónapban a 6 legnagyobb pontszám számít be a pontversenybe.

B. 3492. Egy nxn-es táblázatba beírjuk sorban az 1, 2, ..., n2 számokat:

1 2 ... n
n+1 n+2 ... 2n
... ...   ...
n2-n+1 n2-n+2 ... n2

Minden sorból kiválasztunk egy-egy számot úgy, hogy semelyik kettő ne legyen ugyanabban az oszlopban.

Mik a kiválasztott számok összegének lehetséges értékei? (3 pont)

IMC 8, Prága, 2001

B. 3493. Ketten a következő játékot játsszák. Egy kupacból, amelyben kezdetben páratlan darab gyufaszál van, felváltva vesznek el minden lépésben egy, két vagy három szál gyufát, amíg mind el nem fogy. Az nyer, akinél a végén páros számú gyufa van.

A kezdőnek, vagy ellenfelének van-e nyerő stratégiája? (5 pont)

Kvant

B. 3494. Igazoljuk, hogy ha az ax3+bx2+cx+d=0 egyenletnek három különböző pozitív gyöke van, akkor bc<3ad. (4 pont)

Javasolta: Bakonyi Gábor, Budapest

B. 3495. Az ABCD téglalap oldalai AB=3, BC=2. P az AB oldalnak az a pontja, amelyre a PD egyenes érinti, mégpedig E-ben, a BC átmérőjű kört. A kör középpontján és E-n átmenő egyenes az AB oldalt Q-ban metszi. Mekkora a PQE háromszög területe? (3 pont)

Javasolta: Gerőcs László, Budapest

B. 3496. Az ABCD négyzet belsejében úgy vettük föl a P pontot, hogy AP:BP:CP=1:2:3. Mekkora az APB szög? (4 pont)

B. 3497. Az x valós számra {x}+{x-1}=1. Határozzuk meg

{x2001}+{x-2001}

értékét. (4 pont)

Javasolta: Besenyei Ádám, Tatabánya

B. 3498. Az ABC háromszögben C-nél derékszög van. A hegyesszögek szögfelezői a szemközti oldalakat az M és az N pontban metszik. Legyen P az MN szakasz és a C-ből induló magasság metszéspontja. Bizonyítsuk be, hogy a CP hossza egyenlő a beírt kör sugarával. (4 pont)

Javasolta: Merényi Imre, Budapest

B. 3499. Az x és y pozitív számok mértani közepe g. Bizonyítsuk be, hogy ha gge3, akkor {1\over\sqrt{1+x}}+{1\over\sqrt{1+y}}\ge{2\over\sqrt{1+g}}, ha pedig gle2, akkor \(\displaystyle {1\over\sqrt{1+x}}+{1\over\sqrt{1+y}}\leq{2\over\sqrt{1+g}}\). (5 pont)

B. 3500. Száz fiú és száz lány áll egy-egy sorban egymással szemben. Minden egyes fiú kiválaszt magának egy lányt (ugyanazt a lányt többen is választhatják) és egyenesen odamegy hozzá. Útközben a fiúk útvonalai nem keresztezik egymást. Ezután a fiúk visszaállnak a helyükre, most a lányok választanak, és most is teljesül, hogy miközben egyenesen odamennek a kiszemelt fiúhoz, az útvonalaik nem keresztezik egymást. Bizonyítsuk be, hogy van olyan lány és fiú, akik egymást választották. (4 pont)

B. 3501. Adottak a térbeli koordinátarendszerben az A(1, 1, 1) és a P(1, 1, 0) pontok. Forgassuk el az OA félegyenes körül pozitív irányban 60o-os szöggel a P pontot. Határozzuk meg az elforgatott pont koordinátáit. (4 pont)


Az A pontversenyben kitűzött nehezebb feladatok

Minden A-jelű feladat helyes megoldásáért 5 pont jár.

A. 275. Egy nxn-es táblázatba beírjuk sorban az 12, 22, 32, ..., (n2)2 számokat:

12 22 ... n2
(n+1)2 (n+2)2 ... (2n)2
... ...   ...
(n2-n+1)2 (n2-n+2)2 ... (n2)2

Minden sorból kiválasztunk egy-egy számot úgy, hogy semelyik kettő ne legyen ugyanabban az oszlopban.

Mik a kiválasztott számok összegének lehetséges értékei?

Terpai Tamás ötletéből

A. 276. Az x1, ..., xn pozitív számok szorzata (n^\alpha-1)^n, ahol alphage1 valós szám. Bizonyítsuk be, hogy

\(\displaystyle \sum_{i=1}^n{1\over(x_i+1)^{1/\alpha}}\ge1.\)

A. 277. Legyen H1 egy n-oldalú sokszög. Készítsük el a H1, H2, ..., Hn sokszögsorozatot a következőképpen. Ha Hk-t már elkészítettük, akkor Hk+1-et úgy kapjuk, hogy Hk csúcsait rendre tükrözzük a pozitív körüljárás szerinti k-adik szomszédjukra.

Bizonyítsuk be, hogy ha n prímszám, akkor a H1 és Hn sokszögek hasonlók.


A matematika gyakorlatok és feladatok megoldásai a következő címekre küldhetők:

    KöMaL Szerkesztőség
    Budapest 112, Pf. 32.  1518
illetve

A beküldési határidő: 2001. december 15.

Támogatóink:   Ericsson   Cognex   Emberi Erőforrás Támogatáskezelő   Emberi Erőforrások Minisztériuma   Nemzeti Tehetség Program    
MTA Energiatudományi Kutatóközpont   MTA Wigner Fizikai Kutatóközpont     Nemzeti
Kulturális Alap   ELTE   Morgan Stanley