KöMaL - Középiskolai Matematikai és Fizikai Lapok
 English
Információ
A lap
Pontverseny
Cikkek
Hírek
Fórum
Versenykiírás
Tudnivalók
Nevezési lap
Feladatok
Eredmények
Korábbi évek
Arcképcsarnok
Munkafüzet

Rendelje meg a KöMaL-t!

Kifordítható

tetraéder

VersenyVizsga portál

Kísérletek.hu

Matematika oktatási portál

Matematikából kitűzött gyakorlatok és feladatok
2002. január

Kérjük, olvassa el a versenykiírást.


A C pontversenyben kitűzött gyakorlatok

Minden C-jelű feladat helyes megoldásáért 5 pont jár.

C. 655. Barabás nagymamája egy ideje minden lottósorsoláskor félretesz perselyébe némi aprópénzt unokájának. A nagyi rendkívül precíz hölgy, és az alábbi szabályokat mindig betartja:

    1) Csak fémpénzt tesz félre.

    2) Egy szám kisorsolásakor a számnak megfelelő összeget teszi a perselybe, ügyelve arra, hogy a legkevesebb számú érmét használja fel.

    3) A sorsolás végeztével mindig felírja, hogy melyik érméből mennyit dobott a perselybe.

Az egyik sorsolás után, ahol 7 számot sorsoltak az első 35 pozitív egész közül, nagyi azt jegyezte fel, hogy 3 db 20, 6 db 10, 5 db 5, 9 db 2 és 3 db 1 forintos érmét dobott a perselybe. Mik voltak a kisorsolt számok?

C. 656. Egy 21 250 Ft-os kabát árát leszállították egy engedményes vásár alkalmából. Majd a karácsonyi vásárban akciós áron még olcsóbb, 19 176 Ft lett. Hány százalékosak az engedmények, ha tudjuk, hogy mindkettő egyjegyű szám?

C. 657. Egy kúp és egy henger magassága is és térfogata is egyenlő. Mekkora a kúp nyílásszöge, ha a két test palástjának felszíne is megegyezik?

C.658. Oldjuk meg az

\(\displaystyle {1\over x}+{1\over y}={1\over z}\)

\(\displaystyle {1\over x+y}+{1\over y-6}={1\over z}\)

\(\displaystyle {1\over x+24}+{1\over y-15}={1\over z}\)

egyenletrendszert.

C. 659. A 0\(\displaystyle le\)t\(\displaystyle le\)pi valós paraméter mely értékei esetén nincs megoldása a sin (x+t)=1-sinx egyenletnek?


A B pontversenyben kitűzött feladatok

A B-jelű feladatokra kapható pontszám a feladatok nehézségétől függ. Minden hónapban a 6 legnagyobb pontszám számít be a pontversenybe.

B. 3512. Keressük meg a 81-nek azt a legkisebb többszörösét,

    a) amelyik csak az 1

    b) amelyik csak az 1 és a 0 számjegyeket tartalmazza.

(4 pont)

B. 3513. Két körvonal nincs egy síkban, és pontosan két közös pontjuk van. Mutassuk meg, hogy van olyan gömbfelület, amelyre illeszkednek. (3 pont)

B. 3514. Az ABC háromszög magasságai AA1, BB1 és CC1, területe t. Bizonyítsuk be, hogy az ABC háromszög pontosan akkor szabályos, ha

AA1.AB+BB1.BC+CC1.CA=6t.

(3 pont)

B. 3515. Bizonyítsuk be, hogy a \big[\sqrt2\cdot
n\big] alakú számok között végtelen sok 2-hatvány van. (4 pont)

B. 3516. A füzetlapra rajzoltunk egy 5 cm-es zárt töröttvonalat. Mutassuk meg, hogy le tudjuk takarni egy 20 Ft-os érmével (az érme átmérője nagyobb, mint 2,5 cm). (3 pont)

B. 3517. Bizonyítsuk be, hogy 71|61!+1. (4 pont)

Javasolta: Róka Sándor, Nyíregyháza

B. 3518. Igaz-e, hogy ha két tetraéder lapjai megfeleltethetők úgy, hogy az egymásnak megfeleltetett lapok egyenlő területűek, akkor a két tetraéder térfogata is egyenlő? (4 pont)

B. 3519. Az OA1A2A3 tetraéder OAi élén lévő, O-tól és Ai-től különböző Bi és Ci pontokra (i=1,2,3) teljesül, hogy az A1A2, B1B2 és C1C2 egyenesek is, és az A1A3, B1B3 és C1C3 egyenesek is egy ponton mennek át. Mutassuk meg, hogy ekkor az A2A3, B2B3 és C2C3 egyenesek egy ponton mennek át vagy párhuzamosak. (4 pont)

B. 3520. A valós számok közül bizonyosakat pirosra festünk, mégpedig úgy, hogy ha az x szám piros, akkor az x+1 és {x\over
x+1} számokat is pirosra festjük. Mely számok lesznek pirosak, ha kezdetben csak az 1 piros? (5 pont)

B. 3521. Egy baktériumtörzs minden tagja egy óra leteltével vagy elpusztul vagy pedig kettéosztódik. Ha az osztódás valószínűsége p, akkor mennyi a valószinűsége annak, hogy egy kiszemelt baktérium leszármazottai sosem halnak ki? (5 pont)


Az A pontversenyben kitűzött nehezebb feladatok

Minden A-jelű feladat helyes megoldásáért 5 pont jár.

A. 281. Adott a síkon véges sok pont úgy, hogy semelyik három nem esik egy egyenesre. Bizonyítsuk be, hogy a pontokat ki lehet színezni két színnel -- pirossal és kékkel -- úgy, hogy minden félsík, amelyik legalább három pontot tartalmaz, tartalmazzon piros és kék színű pontot is.

Soukup Lajos, Budapest

A. 282. Léteznek-e olyan f, g és h racionális törtfüggvények, amelyek minden együtthatója racionális szám, és amelyekre

(f(x))3+(g(x))3+(h(x))3=x?

A. 283. Legyen n egész szám. Bizonyítsuk be, hogy ha az x2+xy+y2=n egyenletnek létezik racionális számokból álló megoldása, akkor létezik egész számokból álló megoldása is.


A matematika gyakorlatok és feladatok megoldásai a következő címekre küldhetők:

    KöMaL Szerkesztőség
    Budapest 112, Pf. 32.  1518
illetve
    megoldas@komal.elte.hu (Az interneten keresztül történő beküldésről olvassa el tájékoztatónkat)

A beküldési határidő: 2002. február 15.

Támogatóink:   Ericsson   Cognex   Emberi Erőforrás Támogatáskezelő   Emberi Erőforrások Minisztériuma   Nemzeti Tehetség Program    
MTA Energiatudományi Kutatóközpont   MTA Wigner Fizikai Kutatóközpont     Nemzeti
Kulturális Alap   ELTE   Morgan Stanley