KöMaL - Középiskolai Matematikai és Fizikai Lapok
Belépés
Regisztráció
 English
Információ
A lap
Pontverseny
Cikkek
Hírek
Fórum
Versenykiírás
Tudnivalók
Nevezési lap
Feladatok
Eredmények
Korábbi évek
Arcképcsarnok
Munkafüzet

Rendelje meg a KöMaL-t!

ELTE

VersenyVizsga portál

Kísérletek.hu

Matematika oktatási portál

Matematikából kitűzött gyakorlatok és feladatok
2002. február

Kérjük, olvassa el a versenykiírást.


A C pontversenyben kitűzött gyakorlatok

Minden C-jelű feladat helyes megoldásáért 5 pont jár.

C. 660. Hányféleképpen lehet a 8x8-as sakktábla mezői közül két különbözőt kiválasztani úgy, hogy a középpontjukat összekötő szakasz felezőpontja is egy mező középpontjába essen?

C. 661. Mi a feltétele annak, hogy egy 9-re és egy 7-re végződő egész szám szorzata 63-ra végződjön?

C. 662. Egy téglatest térfogata 8 cm3. Ha a téglatest minden élét 1 centiméterrel megnöveljük, akkor egy 27 cm3 térfogatú téglatestet kapunk. Mekkora térfogatú téglatestet kapunk, ha ismét megnöveljük az éleket 1-1 centiméterrel?

C. 663. Egy hegyesszögű háromszög alakú papírlapnak leszakadt a legnagyobb szöget tartalmazó csúcsa. A papír megmaradt részén szerkeszük meg a háromszög köré írható kör sugarát.

Róka Sándor (Nyíregyháza) javaslata nyomán

C. 664. Határozzuk meg az y=x2+1 és az x=y2+1 egyenletű parabolák az y=x egyenletű egyenessel párhuzamos érintőinek távolságát.

Helyesbítés

Előző számunk C. 658. gyakorlata helyesen a következő:

C. 658. Oldjuk meg az

\(\displaystyle {1\over x}+{1\over y}={1\over z};\quad{1\over x+15}+{1\over y-6}={1\over z};\quad{1\over x+24}+{1\over y-15}={1\over z}\)

egyenletrendszert.

Elnézést kérünk a hibáért. A feladat megoldásának beküldési határideje március 15-re módosul.


A B pontversenyben kitűzött feladatok

A B-jelű feladatokra kapható pontszám a feladatok nehézségétől függ. Minden hónapban a 6 legnagyobb pontszám számít be a pontversenybe.

B. 3522. Oldjuk meg az egész számok körében a

2x4+x2y2+5y2=y4+10x2

egyenletet. (3 pont)

B. 3523. Adott egy félkör. Tekintsük azokat a háromszögeket, amelyek egyik oldala tartalmazza a félkör átmérőjét, másik két oldala pedig érinti a félkört. E háromszögek közül melyiknek legkisebb a területe? (4 pont)

B. 3524. Az x, y valós számok összege 1. Határozzuk meg xy4+x4y legnagyobb értékét. (3 pont)

B. 3525. Bizonyítsuk be, hogy az 1,31,331,3331,... sorozatban végtelen sok összetett szám van. (4 pont)

B. 3526. Az ABCD téglalap BC oldalának felezőpontja F, CD oldalának a C-hez közelebbi harmadolópontja H. Milyen nagy lehet a HAF szög? (4 pont)

B. 3527. Adott egy trapéz, melynek a szárai nem párhuzamosak. Szerkesszünk csak vonalzóval olyan egyenest, amelynek a trapéz szárai közé eső szakaszát a trapéz átlói harmadolják. (5 pont)

B. 3528. Legyenek \(\displaystyle alpha\) és \(\displaystyle beta\) olyan hegyesszögek, amelyekre sin2\(\displaystyle alpha\)+sin2\(\displaystyle beta\)<1. Bizonyítsuk be, hogy sin2\(\displaystyle alpha\)+sin2\(\displaystyle beta\)<sin2(alpha+beta). (4 pont)

B. 3529. Egy mértani sorozat első néhány tagjának összege 11, négyzetösszegük 341, köbösszegük 3641. Határozzuk meg a sorozat tagjait. (5 pont)

Javasolta: Besenyei Ádám, Budapest

B. 3530. Számítsuk ki \(\displaystyle {2002\choose0}-{2001\choose1}+{2000\choose2}-\dots-{1001\choose1001}\) értékét. (5 pont)

B. 3531. Az ABC háromszög O középpontú beírt körének az oldalakon levő érintési pontjai (a szokásos jelölésekkel) A1, B1, C1. Az A1O, B1O, C1O egyenesek rendre az A2, B2, C2 pontokban metszik a B1C1, C1A1, A1B1 szakaszokat. Bizonyítsuk be, hogy az AA2, BB2 és CC2 egyenesek egy ponton mennek át. (5 pont)

Javasolta: Besenyei Ádám, Budapest


Az A pontversenyben kitűzött nehezebb feladatok

Minden A-jelű feladat helyes megoldásáért 5 pont jár.

A. 284. Legyen f a véges S halmaz részhalmazain értelmezett függvény. Igazoljuk, hogy ha S tetszőleges A, B részhalmazaira

f(S\A)=f(A)   és   max(f(A),f(B))\(\displaystyle ge\)f(A\(\displaystyle cup\)B),

akkor f legfeljebb |S| különböző értéket vesz fel.

Schweitzer Miklós Emlékverseny, 2001

A. 285. Bizonyítsuk be, hogy ha az a>b>c>d>0 egész számokra

a2+ac-c2=b2+bd-d2,

akkor ab+cd összetett.

A. 286. Határozzuk meg mindazokat az f:RtoR folytonos függvényeket, amelyekre 1+xy\(\displaystyle ne\)0 esetén

\(\displaystyle f\left({x+y\over1+xy}\right)={f(x)f(y)\over|1+xy|}.\)

Győrfi Zoltán és Ligeti Gábor ötletéből


A matematika gyakorlatok és feladatok megoldásai a következő címekre küldhetők:

    KöMaL Szerkesztőség
    Budapest 112, Pf. 32.  1518
illetve
    megoldas@komal.elte.hu (Az interneten keresztül történő beküldésről olvassa el tájékoztatónkat)

A beküldési határidő: 2002. március 15.

Támogatóink:   Ericsson   Cognex   Emberi Erőforrás Támogatáskezelő   Emberi Erőforrások Minisztériuma   Nemzeti Tehetség Program    
MTA Energiatudományi Kutatóközpont   MTA Wigner Fizikai Kutatóközpont     Nemzeti
Kulturális Alap   ELTE   Morgan Stanley