KöMaL - Középiskolai Matematikai és Fizikai Lapok
 English
Információ
A lap
Pontverseny
Cikkek
Hírek
Fórum
Versenykiírás
Tudnivalók
Nevezési lap
Feladatok
Eredmények
Korábbi évek
Arcképcsarnok
Munkafüzet

Rendelje meg a KöMaL-t!

VersenyVizsga portál

Kísérletek.hu

Matematika oktatási portál

Matematikából kitűzött gyakorlatok és feladatok
2002. április

Kérjük, olvassa el a versenykiírást.


A C pontversenyben kitűzött gyakorlatok

Minden C-jelű feladat helyes megoldásáért 5 pont jár.

C. 670. Egy 3x3-as táblázatba beírtuk az első kilenc pozitív egész számot, mindegyiket egyszer. Tegyük föl, hogy a három sorban balról jobbra, a három oszlopban fölülről lefelé, illetve a bal fölső csúcsból kiinduló átlón kiolvasható háromjegyű számok mindegyike osztható 11-gyel. Mekkora lehet a jobb fölső sarokból kiinduló átlón kiolvasható háromjegyű szám értéke?

Javasolta: Kiss Sándor, Nyíregyháza

C. 671. Egy 36 cm átmérőjű lábosba beleállítottunk egy 6 cm és egy 12 cm sugarú befőttesüveget. Legfeljebb mekkora sugarú befőttesüveg állítható be a többi mellé a lábosba?

C. 672. Egy téglatest A csúcsából kiinduló éleinek hossza 1, 2, 3 egység. Ezen élek A-tól különböző végpontjai egy háromszöget határoznak meg. Milyen messze van az A pont a háromszög síkjától?

C. 673. A 0, 1, 2, 3, 4, 5, 6, 7, 8, 9 számok közül kétszer választunk véletlenszerűen. (Ugyanazt a számot kétszer is kiválaszthatjuk.) Minek nagyobb a valószínűsége: annak, hogy a két szám összege, vagy annak, hogy a különbségük osztható 3-mal?

C. 674. Oldjuk meg az alábbi egyenletet:

\(\displaystyle {x\over20}=\left({5\over2}\right)^{\log_x50}.\)


A B pontversenyben kitűzött feladatok

A B-jelű feladatokra kapható pontszám a feladatok nehézségétől függ. Minden hónapban a 6 legnagyobb pontszám számít be a pontversenybe.

B. 3542. Bizonyítsuk be, hogy ha egy 111...1 alakú szám osztható 7-tel, akkor osztható 37-tel is. (3 pont)

B. 3543. Egy négyzet alakú papírlapon egy négyzet alakú lyuk van. A lyuk mindegyik oldalát meghosszabbítottuk pozitív körüljárás szerinti irányban. Tegyük fel, hogy az így kapott félegyenesek a papírt négy négyszögre bontják az ábra szerint. Igazoljuk, hogy ebből a négy négyszögből másképpen is összeállítható egy négyzet, amelyben van egy négyzet alakú lyuk.

(4 pont)

Gál Péter ötletéből

B. 3544. Mutassuk meg, hogy a háromszög hozzáírt körei közt van olyan, amelynek a sugara legalább háromszorosa a beírt kör sugarának. (3 pont)

B. 3545. Bizonyítsuk be, hogy

\(\displaystyle {n^2-n\over2}\leq\big\{\sqrt1\big\}+\big\{\sqrt2\big\}+\ldots+\big\{\sqrt{n^2}\big\}\leq{n^2-1\over2},\)

ahol {x} az x törtrészét jelöli. (4 pont)

B. 3546. Egy kockát egy síkkal metszve olyan ABCDEF hatszöget kapunk, amelynek AD, BE, CF átlói egy ponton haladnak át. Bizonyítsuk be, hogy a metsző sík áthalad a kocka középpontján. (5 pont)

B. 3547. Bizonyítsuk be, hogy ha az f függvényre

\(\displaystyle f(x+1)+f(x-1)=\sqrt2f(x)\)

minden valós x-re teljesül, akkor a függvény periodikus. (4 pont)

B. 3548. Egy különböző pozitív egészekből álló végtelen számtani sorozat minden elemét elosztjuk a legnagyobb prímosztójával. Lehet-e az így kapott sorozat korlátos? (4 pont)

B. 3549. Bizonyítsuk be, hogy tetszőleges x valós szám esetén

cos cos x\(\displaystyle ge\)|sin x|.

(4 pont)

Javasolta: Szobonya László, Budapest

B. 3550. Az ABC háromszög A-ból és B-ből induló magasságvonalai az M pontban metszik egymást, a szemközti oldalakat pedig az A1 és a B1 pontokban. Tegyük fel, hogy az A1B1 egyenes az AB oldalt D-ben metszi. Bizonyítsuk be, hogy a DM egyenes merőleges a C-ből induló súlyvonalra. (5 pont)

B. 3551. Legyenek az a, b, c, d olyan pozitív egészek, melyekre

a2+b2+ab=c2+d2+cd.

Bizonyítsuk be, hogy a+b+c+d összetett szám. (5 pont)


Az A pontversenyben kitűzött nehezebb feladatok

Minden A-jelű feladat helyes megoldásáért 5 pont jár.

A. 290. Adott véges sok négyzet alakú papírlap, amelyek területének összege 4 egység. Bizonyítsuk be, hogy lefedhető velük egy egységnyi négyzet.

Allan Wilson, Anglia

A. 291. Oldjuk meg az

\(\displaystyle x=\sqrt{2+\sqrt{2-\sqrt{2+x}}}\)

egyenletet.

A. 292. Egy világvárosban n metróvonal van (n>4). Egy állomáson legfeljebb három metróvonal találkozik, és bármelyik két különböző metróvonalhoz létezik egy harmadik, amelyikre mindkettőről át lehet szállni. Igazoljuk, hogy a városban legalább \(\displaystyle {5\over6}(n-5)\) metróállomás van.


A matematika gyakorlatok és feladatok megoldásai a következő címekre küldhetők:

    KöMaL Szerkesztőség
    Budapest 112, Pf. 32.  1518
illetve

A beküldési határidő: 2002. május 15.

Támogatóink:   Ericsson   Cognex   Emberi Erőforrás Támogatáskezelő   Emberi Erőforrások Minisztériuma   Nemzeti Tehetség Program    
MTA Energiatudományi Kutatóközpont   MTA Wigner Fizikai Kutatóközpont     Nemzeti
Kulturális Alap   ELTE   Morgan Stanley