KöMaL - Középiskolai Matematikai és Fizikai Lapok
 English
Információ
A lap
Pontverseny
Cikkek
Hírek
Fórum
Versenykiírás
Tudnivalók
Nevezési lap
Feladatok
Eredmények
Korábbi évek
Arcképcsarnok
Munkafüzet

Rendelje meg a KöMaL-t!

MBUTTONS

VersenyVizsga portál

Kísérletek.hu

Matematika oktatási portál

A 2002. májusi C-jelű matematika gyakorlatok megoldása

A közöltek csak megoldásvázlatok, esetleg csak végeredmények. A maximális pontszám eléréséhez általában ennél részletesebb megoldás szükséges. A részletes megoldásokat a beküldött dolgozatok alapján a KöMaL-ban folyamatosan közöljük.


C. 675. Van-e olyan négyzetszám, amelynek utolsó két számjegye páratlan?

Megoldás. A keresett szám csak egy páratlan számnak lehet a négyzete, ezért (2k+1)2=4k(k+1)+1

alakú; így 4-gyel (sőt, 8-cal is) osztva 1-et ad maradékul. Páratlan négyzetszám utolsó jegye 1, 5 vagy 9 lehet, esetünkben ez azt jelenti, hogy a szám 20-szal való osztási maradéka 11, 15 vagy 19. Az ezeknek megfelelő 4-gyel való osztási maradék azonban mindig 3, ami előbbi megállapításunknak ellentmond. Tehát egy négyzetszámnak nem lehet az utolsó két számjegye egyszerre páratlan.


C. 676. Az ABEF téglalap AB oldala 1, BE oldala 3 egység. A BE oldal harmadolópontjai C és D. Mutassuk meg, hogy

BAC\(\displaystyle \angle\)+BAD\angle+BAE\(\displaystyle \angle\)=180o.

Megoldás.

 

Az ábráról leolvasható, hogy BAD'\(\displaystyle angle\)=BAD\(\displaystyle angle\) és BAC\(\displaystyle angle\)=45o=EAA'\(\displaystyle angle\), tehát BAD\(\displaystyle angle\)+BAE\(\displaystyle angle\)+BAC\(\displaystyle angle\)=D'AB\(\displaystyle angle\)+BAE\(\displaystyle angle\)+EAA'=180o. (A feladat a tangensfüggvény addíciós képletének felhasználásával is megoldható.)


C. 677. Határozzuk meg az a és b egész számokat, ha a4+(a+b)4 +b4 négyzetszám.

Megoldás. Négyzetszám 4-gyel (maradékosan) osztva 0-t vagy 1-et adhat maradékul, előbbit akkor, ha páros, utóbbit akkor, ha páratlan. Így az a, b, a+b közül legfeljebb egy lehet páratlan, akkor viszont a és b egyaránt páros: a=2a1, b=2b1. Ezért, ha a4+(a+b)4+b4=16(a14+(a1+b1)4+b14) négyzetszám, akkor a14+(a1+b1)4+b14 is az. Így a1 és b1 egyaránt páros, és így tovább. Azt kaptuk, hogy a és b a 2-nek akárhányadik hatványával osztható, ami csak akkor lehetséges, ha a=b=0; ez másrészt ki is elégíti a feladat feltételét.


C. 678. Az ABC háromszögben AC=1, ABC\(\displaystyle \angle\)=30o, BAC\angle=60o, a C-ből induló magasság talppontja D. Milyen messze van egymástól az ACD és a BCD háromszögek beírt körének a középpontja?

Megoldás.

 

Az ABC (nevezetes) derékszögű háromszög, BC=\sqrt{3}, AB=2.AC=2. Az ACD háromszög kerülete: \(\displaystyle k_{ACD}={1\over2}k_{ABC}={{3+\sqrt{3}}\over2}\), hasonlóan k_{BCD}={{\sqrt{3}}\over2}k_{ABC}={{3+3\sqrt{3}}\over2}. A megfelelő területek: \(\displaystyle t_{ACD}={1\over4}t_{ABC}={1\over4}\cdot{{\sqrt{3}}\over2}={{\sqrt{3}}\over8}\), \(\displaystyle t_{BCD}={3\over4}t_{ABC}={3\over4}\cdot{{\sqrt{3}}\over2}={{3\sqrt{3}}\over8}\). Így a kis háromszögekbe írható körök sugara: KE={{2\cdot
t_{ACD}}\over{k_{ACD}}}={{\sqrt{3}}\over4}/{{3+\sqrt{3}}\over2}={{\sqrt{3}-1}\over4}, \(\displaystyle LF={{2\cdot t_{BCD}}\over{k_{BCD}}}={{3\sqrt{3}}\over4}/{{3+3\sqrt{3}}\over2}={{3-\sqrt{3}}\over4}\). Végül \(\displaystyle ED={{k_{ACD}}\over2}-AC={{3+\sqrt{3}}\over4}-1={{\sqrt{3}-1}\over4}\), \(\displaystyle DF={{k_{BCD}}\over2}-BC={{3+3\sqrt{3}}\over4}-\sqrt{3}={{3-\sqrt{3}}\over4}\), ezért Pitagorasz tételéből \(\displaystyle KL=\sqrt{EF^2+(LF-KE)^2}=\sqrt{\frac{1}{4}+\frac{(2-\sqrt{3})^2}{4}}=\sqrt{2-\sqrt{3}}\approx0.52\).


C. 679. Adott három egységsugarú gömb, melyek páronként érintik egymást és az S síkot. Határozzuk meg annak a gömbnek a sugarát, melynek középpontja az S síkon van és érinti a gömböket.

Megoldás.

 

A három egységsugarú gömb középpontja egy 2 oldalhosszúságú, az S síkkal párhuzamos, attól 1 távolságra levő szabályos háromszöget határoz meg. A keresett r sugarú gömb K középpontja a háromszög mindhárom csúcsától r\(\displaystyle pm\)1 távolságra van aszerint, hogy az egységgömböket kívülről vagy belülről érinti. Jelölje a három középpont egyikét C, ennek az S síkra való merőleges vetülete legyen C'. A KC'C derékszögű háromszögben Pitagorasz tétele miatt \(\displaystyle KC'=\sqrt{KC^2-C'C^2}=\sqrt{(r\pm1)^2-1}=\sqrt{r^2\pm2r}\). Másrészt KC' hossza egyenlő a 2 egységnyi élű szabályos háromszög középpontjának a csúcsoktól való távolságával, \(\displaystyle {2\over{\sqrt{3}}}\)-mal. Így \(\displaystyle r^2\pm2r={4\over3}\), tehát \(\displaystyle r={{\sqrt{21}\pm3}\over3}\). Mindvégig feltételeztük, hogy a keresett sugarú gömb vagy mindhárom egységgömböt kívülről, vagy mindegyiket belülről érinti. ,,Vegyes'' konfiguráció nem létezik, mivel ha a K középpontú, r sugarú gömb a G1 középpontú gömböt kívülről, a G2 középpontút pedig belülről érintené, akkor KG1=r+1, KG2=r-1 szerint G1G2=2=(r+1)-(r-1)=KG1-KG2, azaz a G1G2K háromszög elfajuló, tehát K a G1G2 egyenesen lenne. Ez az egyenes azonban párhuzamos az S síkkal, ezért nincs vele közös pontja.

Támogatóink:   Ericsson   Cognex   Emberi Erőforrás Támogatáskezelő   Emberi Erőforrások Minisztériuma   Nemzeti Tehetség Program    
MTA Energiatudományi Kutatóközpont   MTA Wigner Fizikai Kutatóközpont     Nemzeti
Kulturális Alap   ELTE   Morgan Stanley