KöMaL - Középiskolai Matematikai és Fizikai Lapok
 English
Információ
A lap
Pontverseny
Cikkek
Hírek
Fórum
Versenykiírás
Tudnivalók
Nevezési lap
Feladatok
Eredmények
Korábbi évek
Arcképcsarnok
Munkafüzet

Rendelje meg a KöMaL-t!

ELTE

VersenyVizsga portál

Kísérletek.hu

Matematika oktatási portál

Matematikából kitűzött gyakorlatok és feladatok
2002. május

Kérjük, olvassa el a versenykiírást.


A C pontversenyben kitűzött gyakorlatok

Minden C-jelű feladat helyes megoldásáért 5 pont jár.

C. 675. Van-e olyan négyzetszám, amelynek utolsó két számjegye páratlan?

C. 676. Az ABEF téglalap AB oldala 1, BE oldala 3 egység. A BE oldal harmadolópontjai C és D. Mutassuk meg, hogy

BAC\(\displaystyle \angle\)+BAD\angle+BAE\(\displaystyle \angle\)=180o.

C. 677. Határozzuk meg az a és b egész számokat, ha a4+(a+b)4 +b4 négyzetszám.

C. 678. Az ABC háromszögben AC=1, ABC\(\displaystyle \angle\)=30o, BAC\angle=60o, a C-ből induló magasság talppontja D. Milyen messze van egymástól az ACD és a BCD háromszögek beírt körének a középpontja?

C. 679. Adott három egységsugarú gömb, melyek páronként érintik egymást és az S síkot. Határozzuk meg annak a gömbnek a sugarát, melynek középpontja az S síkon van és érinti a gömböket.


A B pontversenyben kitűzött feladatok

A B-jelű feladatokra kapható pontszám a feladatok nehézségétől függ. Minden hónapban a 6 legnagyobb pontszám számít be a pontversenybe.

B. 3552. Az a1, a2, ..., a2n+1 sorozat minden tagja 2, 5 vagy 9. Tudjuk, hogy a sorozat bármely két szomszédos tagja különböző és a1=a2n+1. Bizonyítsuk be, hogy a1a2-a2a3+a3a4-a4a5+...-a2na2n+1=0. (3 pont)

B. 3553. Az ABC háromszög A csúcsából induló magasság, B csúcsából induló szögfelező és C csúcsából induló súlyvonal a szemközti oldalakat rendre az A1, B1, C1 pontokban metszi. Bizonyítsuk be, hogy ha az A1B1C1 háromszög szabályos, akkor az ABC háromszög is szabályos. (4 pont)

B. 3554. Az ABCD paralelogramma átlói az M pontban metszik egymást. Az A, M, B pontokon átmenő kör érinti a BC egyenest. Bizonyítsuk be, hogy a B, M, C pontokon átmenő kör érinti a CD egyenest. (3 pont)

B. 3555. Egy 2n+1-tagú társaság bármely n-tagú csoportjához van a társaságnak olyan a csoporthoz nem tartozó tagja, aki a csoport minden tagját ismeri. Az ismeretséget kölcsönösnek tételezzük fel. Bizonyítsuk be, hogy a társaságnak van olyan tagja, aki mindenkit ismer. (5 pont)

B. 3556. Szerkesszünk háromszöget, ha adott két oldala és a közös csúcsukból induló külső szögfelező. (4 pont)

B. 3557. Kezdődhet-e egy köbszám tízes számrendszerbeli alakja 2002 darab egyessel? (4 pont)

B. 3558. Van-e olyan nem konstans egész együtthatós polinom, amelyik minden pozitív egész helyen 2-hatvány értéket vesz föl? (4 pont)

OKTV 2002 nyomán

B. 3559. Adottak a síkon az e1, e2, ..., en egyenesek. Az e1 egyenes egy tetszőleges P1 pontjából merőlegest bocsátunk az e2-re, ennek talppontja P2. Ezután a P2-ből e3-ra bocsátott merőleges talppontja P3, és így tovább, végül az en egyenesen kapott Pn pontból az e1-re bocsátott merőleges talppontja Pn+1. Bizonyítsuk be, hogy az e1 egyenesnek van olyan P1 pontja, hogy az így kapott Pn+1 egybeesik P1-gyel. (4 pont)

B. 3560. Bizonyítsuk be, hogy bárhogyan is hagyunk el az első 2002 pozitív egész szám közül 89 darabot, a megmaradó számok között van 20 olyan, amelyeknek az összege is a megmaradt számok között van. (5 pont)

B. 3561. Egy konvex poliéder minden csúcsából pontosan három él indul ki. Egy lap kivételével a poliéder minden lapjáról tudjuk, hogy van körülírt köre. Bizonyítsuk be, hogy ekkor a poliéder valamennyi lapjának van körülírt köre. (5 pont)


Az A pontversenyben kitűzött nehezebb feladatok

Minden A-jelű feladat helyes megoldásáért 5 pont jár.

A. 293. Mutassuk meg, hogy tetszőleges m\(\displaystyle \ge\)2 egészhez léteznek olyan a és b pozitív egészek, amelyek m-es számrendszerben felírt alakja együttesen minden számjegyből pontosan annyit tartalmaz, mint az a.b szám m-es számrendszerbeli alakja.

Szobonya László, Budapest

A. 294. Definiáljuk az a1,a2,... sorozatot a következő rekurzióval: a1=1, \(\displaystyle a_{n+1}={a_1a_n+a_2a_{n-1}+\dots+a_na_1\over n+1}\). Igazoljuk, hogy a \(\displaystyle b_n=\root{n}\of{a_n}\) sorozat konvergens.

A. 295. Az x1,x2...,xn pozitív számokra teljesül, hogy

\(\displaystyle {1\over1+x_1}+{1\over1+x_2}+\dots+{1\over1+x_n}=1.\)

Bizonyítsuk be, hogy

\(\displaystyle \sqrt{x_1}+\sqrt{x_2}+\dots+\sqrt{x_n}\ge(n-1) \left({1\over\sqrt{x_1}}+{1\over\sqrt{x_2}}+\dots+ {1\over\sqrt{x_n}}\right).\)

Vojtech Jarník Matematikaverseny, Ostrava, 2002


A matematika gyakorlatok és feladatok megoldásai a következő címekre küldhetők:

    KöMaL Szerkesztőség
    Budapest 112, Pf. 32.  1518
illetve
    megoldas@komal.elte.hu (Az interneten keresztül történő beküldésről olvassa el tájékoztatónkat)

A beküldési határidő: 2002. június 15.

Támogatóink:   Ericsson   Cognex   Emberi Erőforrás Támogatáskezelő   Emberi Erőforrások Minisztériuma   Nemzeti Tehetség Program    
MTA Energiatudományi Kutatóközpont   MTA Wigner Fizikai Kutatóközpont     Nemzeti
Kulturális Alap   ELTE   Morgan Stanley