KöMaL - Középiskolai Matematikai és Fizikai Lapok
Belépés
Regisztráció
 English
Információ
A lap
Pontverseny
Cikkek
Hírek
Fórum
Versenykiírás
Tudnivalók
Nevezési lap
Feladatok
Eredmények
Korábbi évek
Arcképcsarnok
Munkafüzet

Rendelje meg a KöMaL-t!

VersenyVizsga portál

Kísérletek.hu

Matematika oktatási portál

A 2002. novemberi C-jelű matematika gyakorlatok megoldása

A közöltek csak megoldásvázlatok, esetleg csak végeredmények. A maximális pontszám eléréséhez általában ennél részletesebb megoldás szükséges. A részletes megoldásokat a beküldött dolgozatok alapján a KöMaL-ban folyamatosan közöljük.


C. 690. Lehet-e három egész élhosszúságú kocka térfogatának az összege 2002 egység?

Megoldás. Nem lehet. Ehhez megmutatjuk, hogy egy c3 köbszám 9-cel osztva csak 0-t, 1-et vagy (-1)-et adhat maradékul. Ha c osztható 3-mal, akkor a maradék nyilván 0. Ha c=3k+1, akkor c3-1=(3k+1)3-1=27k3+27k2+9k+1-1=9(3k3+3k2+k) osztható 9-cel, azaz c3 maradéka 1. Hasonlóan, ha c=3k-1, akkor c3+1=(3k-1)3+1=27k3-27k2+9k-1+1=9(3k3-3k2+k) osztható 9-cel, azaz c3 maradéka -1. Így három köbszám összegének 9-cel való lehetséges osztási maradékai: 3=1+1+1, 2=1+1+0, 1=1+0+0, 0=0+0+0, 8\(\displaystyle equiv\)-1=-1+0+0, 7\(\displaystyle equiv\)-2=(-1)+(-1)+0, 6\(\displaystyle equiv\)-3=(-1)+(-1)+(-1). Mivel 2002 maradéka 2+0+0+2=4, azért 2002 nem lehet három köbszámnak az összege.


C. 691. Hány mm2 Magyarország területe egy 25 cm átmérőjű földgömbön?

Megoldás. Magyarország területe T\(\displaystyle approx\)93000 km2, a Föld (egyenlítői) sugara R\(\displaystyle approx\)6378 km, így az r=12.5 cm sugarű földgömbön Magyarország területe \(\displaystyle t=T\cdot{r^2\over{R^2}}\approx93\cdot10^{15}\cdot{125^2\over{6378^2\cdot10^{12}}}\approx36\) mm2.


C. 692. Az x, y, z valós számokra teljesül, hogy x+2y+4z\ge3 és y-3x+2z\(\displaystyle \ge\)5. Igazoljuk, hogy ekkor y-x+2z\(\displaystyle \ge\)3.

Megoldás. Ha x+2y+4z\(\displaystyle ge\)3 és y-3x+2z\(\displaystyle ge\)5, akkor \(\displaystyle {2\over{7}}(x+2y+4z)\ge{2\over{7}}\cdot3\) és \(\displaystyle {3\over{7}}(y-3x+2z)\ge{3\over{7}}\cdot5\), tehát

\(\displaystyle 3={2\over{7}}\cdot3+{3\over{7}}\cdot5\le{2\over{7}}(x+2y+4z)+{3\over{7}}(y-3x+2z)=y-x+2z.\)


C. 693.Mekkora lehet egy olyan egyenlő szárú háromszög szárszöge, amelynek magasságaiból mint oldalakból háromszög szerkeszthető?

Megoldás. Legyen a háromszög szárszöge 2x (0o<2x<180o) szára pedig b=1; ekkor az alapon fekvő szögek mindegyike 90o-x, a háromszög alapja a=2sinx. Az alaphoz tartozó magasság ma=bcosx=cosx, a szárakhoz tartozó magasságok: mb=asin(90o-x)=2sinxcosx.

Az ma, mb, mb hosszúságú szakaszokból pontosan akkor szerkeszthető (egyenlő szárú) háromszög, ha ma<2mb, azaz cosx<4sinxcosx, vagyis (cosx>0 lévén) \(\displaystyle \sin \){1\over{4}}">.

Az egyenlő szárú háromszög szárszöge tehát 2. arc \(\displaystyle \sin{1\over{4}}\approx24.96^{\circ}\) és 180o között lehet.


C. 694.Mekkora az [log21]+[log22]+[log23]+...+[log22002] összeg értéke?

Javasolta: Besenyei Ádám, Budapest

Megoldás. A 2002-nél nem nagyobb 2-hatványok: 20=1, 21=2, 22=4, 23=8, 24=16, 25=32, 26=64, 27=128, 28=256, 29=512, 210=1024. Így az összeg:

\(\displaystyle (0+2\cdot1+4\cdot2+8\cdot3+\ldots+512\cdot9)+979\cdot10=\sum_{k=1}^{9}{k\cdot2^k}+9790=\)

=(8.210+2)+9790=17984.

Támogatóink:   Ericsson   Cognex   Emberi Erőforrás Támogatáskezelő   Emberi Erőforrások Minisztériuma   Nemzeti Tehetség Program    
MTA Energiatudományi Kutatóközpont   MTA Wigner Fizikai Kutatóközpont     Nemzeti
Kulturális Alap   ELTE   Morgan Stanley