KöMaL - Középiskolai Matematikai és Fizikai Lapok
 English
Információ
A lap
Pontverseny
Cikkek
Hírek
Fórum
Versenykiírás
Tudnivalók
Nevezési lap
Feladatok
Eredmények
Korábbi évek
Arcképcsarnok
Munkafüzet

Rendelje meg a KöMaL-t!

VersenyVizsga portál

Kísérletek.hu

Matematika oktatási portál

A 2002. decemberi C-jelű matematika gyakorlatok megoldása

A közöltek csak megoldásvázlatok, esetleg csak végeredmények. A maximális pontszám eléréséhez általában ennél részletesebb megoldás szükséges. A részletes megoldásokat a beküldött dolgozatok alapján a KöMaL-ban folyamatosan közöljük.


C. 695. Egy hatjegyű számot csökkentünk a számjegyeinek összegével, majd az így kapott számmal ugyanezt folytatjuk. Eljuthatunk-e így a 2002-höz?

Megoldás. Egy szám és a számjegyeinek az összege kilenccel osztva ugyanazt a maradékot adja, vagyis különbségük osztható kilenccel. Mivel a 2002 nem osztható kilenccel, ezért nem kaphatjuk meg a feladatban leírt módon.


C. 696. Oldjuk meg az |x+3|+p|x-2|=5 egyenletet, ahol a p valós paraméter.

Megoldás. Három esetet vizsgálunk. Az egyes estekben rendezés után a következő egyenleteket kapjuk: 1. Ha 2\(\displaystyle le\)x, akkor (p+1)x=2(p+1). 2. Ha -3\(\displaystyle le\)x\(\displaystyle le\)2, akkor (1-p)x=2(1-p). 3. Ha x\(\displaystyle le\)-3, akkor (p+1)x=2(p-4).

A megoldások tehát: Ha p\(\displaystyle ne\)pm1, akkor x=2 az 1. és a 2. esetből adódóan, a 3. esetben pedig figyelembe véve az x=2(p-4)/(p+1)le-3 feltételt, kapjuk, hogy -1<ple1 esetén x=2(p-4)/(p+1) is megoldás. Ha p=-1, akkor az 1. esetből 2lex tetszőleges, ha pedig p=1, akkor a 2. esetből -3lexle2 tetszőleges.


C. 697. Az ABCD négyszögben AB=1, BC=2, CD=\sqrt{3}, ABC\angle=120o, végül BCD\angle=90o. Mekkora az AD oldal hosszának pontos értéke?

Megoldás.

Legyen a BC oldal felezőpontja F. Ekkor azABF háromszög egyenlő szárú, ezért BFAmangle=30o és AF=\sqrt{3}. Az FCD derékszögű háromszög egyik befogója FC=1, a másik pedig CD=\sqrt{3}, ezért átfogója FD=2 és DFCmangle=60o. Vagyis az AFD háromszögben D-nél derékszög van, ezért Pitagorasz tétele szerint AD2=AF2+FD2=3+4, tehát a négyszög AD oldalának hossza \sqrt{7}.


C. 698. Egy háromszögben az AB oldal hossza 10 cm, az AC oldal hossza 5,1 cm, CAB\angle=58o. Határozzuk meg a BCA\angle-et 1 századfok pontossággal.

Megoldás. A koszinusztétel szerint

BC2=AC2+AB2-2AB.ACcos58o=26,01+100-54,0518,

tehát BC=8,4828 cm.

A BCAmangle-et ugyancsak a koszinusztétel segítségével határozhatjuk meg:

\cos BCA\measuredangle=\frac{AC^2+BC^2-AB^2}{2AC\cdot CB}=\frac{26,01+71,9582-100}{2\cdot5,1\cdot8,4828}=-0,02348,

vagyis BCAmangle=91,3456o.


C. 699. Mennyi a valószínűsége annak, hogy az 5-ös lottó sorsolásakor legalább egy olyan számot is kihúznak, amely az előző heti nyertes számok között szerepelt?

Megpldás. Annak a valószínűsége, hogy az előző heti nyerőszámok közül egyetlen egyet sem húznak ki, . Az általunk keresett valószínűség pedig 1-p=0,2537.

Támogatóink:   Ericsson   Cognex   Emberi Erőforrás Támogatáskezelő   Emberi Erőforrások Minisztériuma   Nemzeti Tehetség Program    
MTA Energiatudományi Kutatóközpont   MTA Wigner Fizikai Kutatóközpont     Nemzeti
Kulturális Alap   ELTE   Morgan Stanley