KöMaL - Középiskolai Matematikai és Fizikai Lapok
Belépés
Regisztráció
 English
Információ
A lap
Pontverseny
Cikkek
Hírek
Fórum
Versenykiírás
Tudnivalók
Nevezési lap
Feladatok
Eredmények
Korábbi évek
Arcképcsarnok
Munkafüzet

Rendelje meg a KöMaL-t!

Kifordítható

tetraéder

VersenyVizsga portál

Kísérletek.hu

Matematika oktatási portál

Matematikából kitűzött gyakorlatok és feladatok
2003. október

Kérjük, olvassa el a versenykiírást.


A C pontversenyben kitűzött gyakorlatok

Minden C-jelű feladat helyes megoldásáért 5 pont jár.

C. 730. Hány megoldása van az \(\displaystyle \left[\frac{x}{10}\right]= \left[\frac{x}{11}\right]+1\) egyenletnek az egész számok körében?

C. 731. Az ABCD trapéz AB alapjára, mint átmérőre írt kör érinti a CD alapot és felezi az AD és BC szárakat. Mekkorák a trapéz szögei?

XII. Nemzetközi Magyar Matematika Verseny

C. 732. Igazoljuk, hogy tetszőleges a és b nemnegatív valós számokra fennáll az \(\displaystyle a+b+\frac{1}{2}\ge\sqrt{a}+\sqrt{b}\) egyenlőtlenség.

C. 733. Egy szabályos háromszög oldalait (azonos körüljárás szerint) felosztottuk p:q arányban. Az osztópontok összekötésével kapott háromszög területe az eredeti háromszög területének \(\displaystyle \frac{19}{64}\)-ed része. Mekkora a p:q arány?

Javasolta: Koncz Levente, Budapest

C. 734. Ábrázoljuk a koordinátarendszerben azokat a P(x;y) pontokat, amelyek koordinátáira \(\displaystyle \frac{2+y}{x}<\frac{4-x}{y}\).


A B pontversenyben kitűzött feladatok

A B-jelű feladatokra kapható pontszám a feladatok nehézségétől függ. Minden hónapban a 6 legnagyobb pontszám számít be a pontversenybe.

B. 3662. Van egy zsebrádiónk, amely két ceruzaelemmel működik. A fiókban van 8 ceruzaelemünk, közülük 4 ki van merülve. A jó és rossz elemek sajnos összekeveredtek. Az elemek tesztelésére nincs más lehetőségünk, mint hogy belehelyezünk kettőt a készülékbe, és ha az szól, akkor mindkét elem jó, ha nem szól, akkor legalább az egyik rossz. Legalább hány kísérletre van szükség ahhoz, hogy biztosan megszólaljon a rádió?

(5 pont)

B. 3663. Vannak-e olyan páratlan a, b, c számok, amelyekre

(a+b)2+(a+c)2=(b+c)2?

(3 pont)

B. 3664. Keressük meg azt a legalacsonyabb fokú egész együtthatós p(x) polinomot, amelyre teljesül, hogy főegyütthatója 1, továbbá p(0)=0, p(1)=1 és p(-1)=3.

(3 pont)

B. 3665. Adott a síkon tizenhárom pont úgy, hogy közülük bármely öt között van négy, amelyek egy körön vannak. Bizonyítsuk be, hogy az adott pontok közül legalább hat egy körön van.

(4 pont)

B. 3666. Adjunk meg egy kocka minden lapjának a belsejében egy-egy négyzetet úgy, hogy a négyzetek csúcsai által meghatározott konvex test minden lapja szabályos sokszög legyen.

(4 pont)

B. 3667. Az A, B, C pontok egy szabályos háromszög csúcsai. Adjuk meg azon P pontok mértani helyét a háromszög síkjában, melyekre

a) PA2+PB2=PC2,

b) PA2+PB2=2PC2.

(3 pont)

B. 3668. Milyen a és b valós számokra igaz, hogy minden x\(\displaystyle \in\)[0;1] esetén \(\displaystyle |x^2-ax-b|\le\frac{1}{8}\)?

(4 pont)

B. 3669. Egységnyi térfogatú forgáskúpok közül melyiknek minimális a felszíne?

(4 pont)

B. 3670. Egy háromszög hozzáírt köreinek sugarai ra, rb és rc, körülírt körének sugara pedig R. Tudjuk, hogy ra+rb=3R és rb+rc=2R. Mekkorák a háromszög szögei?

(5 pont)Javasolta: Kiss Sándor, Szatmárnémeti

B. 3671. Oldjuk meg az (x2+y)(x+y2)=(x-y)3 egyenletet az egész számok körében.

(5 pont)


Az A pontversenyben kitűzött nehezebb feladatok

Minden A-jelű feladat helyes megoldásáért 5 pont jár.

A. 326. Legyenek x1,x2,...,xn olyan egész számok, amelyeknek nincs 1-nél nagyobb közös osztója, továbbá tetszőleges k pozitív egészre legyen

sk=x1k+...+xnk.

Bizonyítsuk be, hogy az 1,2,...,n számok legkisebb közös többszöröse osztható az s1,s2,...,sn számok legnagyobb közös osztójával.

A. 327. Az n-edfokú, valós együtthatós

p(x)= anxn+ an-1xn-1+ ...+ a1+ a0

polinom (n\(\displaystyle \ge\)3) mindegyik (valós és komplex) gyöke a bal félsíkban van, azaz negatív a valós része. Igazoljuk, hogy tetszőleges 0\(\displaystyle \le\)k\(\displaystyle \le\)n-3 esetén

akak+3< ak+1ak+2.

IMC 10, Kolozsvár, 2003

A. 328. Határozzuk meg mindazokat az \(\displaystyle f\colon(0,\infty)\to(0,\infty)\) függvényeket, amelyekre tetszőleges x,y>0 esetén

f(f(x)+y)=xf(1+xy).


A matematika gyakorlatok és feladatok megoldásai a következő címekre küldhetők:

    KöMaL Szerkesztőség
    Budapest 112, Pf. 32.  1518
illetve
    megoldas@komal.hu (Az interneten keresztül történő beküldésről olvassa el tájékoztatónkat)

A beküldési határidő: 2003. november 15.

Támogatóink:   Ericsson   Cognex   Emberi Erőforrás Támogatáskezelő   Emberi Erőforrások Minisztériuma   Nemzeti Tehetség Program    
MTA Energiatudományi Kutatóközpont   MTA Wigner Fizikai Kutatóközpont     Nemzeti
Kulturális Alap   ELTE   Morgan Stanley