Matematikából kitűzött gyakorlatok és feladatok
2003. október

Kérjük, olvassa el a versenykiírást.

A C pontversenyben kitűzött gyakorlatok Minden C-jelű feladat helyes megoldásáért 5 pont jár.

C. 730. Hány megoldása van az \(\displaystyle \left[\frac{x}{10}\right]= \left[\frac{x}{11}\right]+1\) egyenletnek az egész számok körében?

C. 731. Az ABCD trapéz AB alapjára, mint átmérőre írt kör érinti a CD alapot és felezi az AD és BC szárakat. Mekkorák a trapéz szögei?

XII. Nemzetközi Magyar Matematika Verseny

C. 732. Igazoljuk, hogy tetszőleges a és b nemnegatív valós számokra fennáll az \(\displaystyle a+b+\frac{1}{2}\ge\sqrt{a}+\sqrt{b}\) egyenlőtlenség.

C. 733. Egy szabályos háromszög oldalait (azonos körüljárás szerint) felosztottuk p:q arányban. Az osztópontok összekötésével kapott háromszög területe az eredeti háromszög területének \(\displaystyle \frac{19}{64}\)-ed része. Mekkora a p:q arány?

Javasolta: Koncz Levente, Budapest

C. 734. Ábrázoljuk a koordinátarendszerben azokat a P(x;y) pontokat, amelyek koordinátáira \(\displaystyle \frac{2+y}{x}<\frac{4-x}{y}\).

A B pontversenyben kitűzött feladatok A B-jelű feladatokra kapható pontszám a feladatok nehézségétől függ. Minden hónapban a 6 legnagyobb pontszám számít be a pontversenybe.

B. 3662. Van egy zsebrádiónk, amely két ceruzaelemmel működik. A fiókban van 8 ceruzaelemünk, közülük 4 ki van merülve. A jó és rossz elemek sajnos összekeveredtek. Az elemek tesztelésére nincs más lehetőségünk, mint hogy belehelyezünk kettőt a készülékbe, és ha az szól, akkor mindkét elem jó, ha nem szól, akkor legalább az egyik rossz. Legalább hány kísérletre van szükség ahhoz, hogy biztosan megszólaljon a rádió?

(5 pont)

B. 3663. Vannak-e olyan páratlan a, b, c számok, amelyekre

(a+b)²+(a+c)²=(b+c)²?

(3 pont)

B. 3664. Keressük meg azt a legalacsonyabb fokú egész együtthatós p(x) polinomot, amelyre teljesül, hogy főegyütthatója 1, továbbá p(0)=0, p(1)=1 és p(-1)=3.

(3 pont)

B. 3665. Adott a síkon tizenhárom pont úgy, hogy közülük bármely öt között van négy, amelyek egy körön vannak. Bizonyítsuk be, hogy az adott pontok közül legalább hat egy körön van.

(4 pont)

B. 3666. Adjunk meg egy kocka minden lapjának a belsejében egy-egy négyzetet úgy, hogy a négyzetek csúcsai által meghatározott konvex test minden lapja szabályos sokszög legyen.

(4 pont)

B. 3667. Az A, B, C pontok egy szabályos háromszög csúcsai. Adjuk meg azon P pontok mértani helyét a háromszög síkjában, melyekre

a) PA²+PB²=PC²,

b) PA²+PB²=2PC².

(3 pont)

B. 3668. Milyen a és b valós számokra igaz, hogy minden x\(\displaystyle \in\)[0;1] esetén \(\displaystyle |x^2-ax-b|\le\frac{1}{8}\)?

(4 pont)

B. 3669. Egységnyi térfogatú forgáskúpok közül melyiknek minimális a felszíne?

(4 pont)

B. 3670. Egy háromszög hozzáírt köreinek sugarai r_a, r_b és r_c, körülírt körének sugara pedig R. Tudjuk, hogy r_a+r_b=3R és r_b+r_c=2R. Mekkorák a háromszög szögei?

(5 pont)Javasolta: Kiss Sándor, Szatmárnémeti

B. 3671. Oldjuk meg az (x²+y)(x+y²)=(x-y)³ egyenletet az egész számok körében.

(5 pont)

Az A pontversenyben kitűzött nehezebb feladatok Minden A-jelű feladat helyes megoldásáért 5 pont jár.

A. 326. Legyenek x₁,x₂,...,x_n olyan egész számok, amelyeknek nincs 1-nél nagyobb közös osztója, továbbá tetszőleges k pozitív egészre legyen

s_k=x₁^k+...+x_n^k.

Bizonyítsuk be, hogy az 1,2,...,n számok legkisebb közös többszöröse osztható az s₁,s₂,...,s_n számok legnagyobb közös osztójával.

A. 327. Az n-edfokú, valós együtthatós

p(x)= a_nxⁿ+ a_n-1x^n-1+ ...+ a₁+ a₀

polinom (n\(\displaystyle \ge\)3) mindegyik (valós és komplex) gyöke a bal félsíkban van, azaz negatív a valós része. Igazoljuk, hogy tetszőleges 0\(\displaystyle \le\)k\(\displaystyle \le\)n-3 esetén

a_ka_k+3< a_k+1a_k+2.

IMC 10, Kolozsvár, 2003

A. 328. Határozzuk meg mindazokat az \(\displaystyle f\colon(0,\infty)\to(0,\infty)\) függvényeket, amelyekre tetszőleges x,y>0 esetén

f(f(x)+y)=xf(1+xy).

A matematika gyakorlatok és feladatok megoldásai a következő címekre küldhetők:

KöMaL Szerkesztőség
Budapest 112, Pf. 32.  1518

megoldas@komal.hu (Az interneten keresztül történő beküldésről olvassa el tájékoztatónkat)

A beküldési határidő: 2003. november 15.