KöMaL - Középiskolai Matematikai és Fizikai Lapok
 English
Információ
A lap
Pontverseny
Cikkek
Hírek
Fórum
Versenykiírás
Tudnivalók
Nevezési lap
Feladatok
Eredmények
Korábbi évek
Arcképcsarnok
Munkafüzet

Rendelje meg a KöMaL-t!

VersenyVizsga portál

Kísérletek.hu

Matematika oktatási portál

Matematikából kitűzött gyakorlatok és feladatok
2005. február

Kérjük, olvassa el a versenykiírást.


A K pontversenyben kitűzött gyakorlatok

A K-jelű feladatokat csak 9-edik osztályosok küldhetik be. Minden K-jelű feladat helyes megoldásáért 6 pont jár.

K. 31. Az ábrán látható hatszög minden belső szöge 120o-os. Bizonyítsuk be, hogy

AB + FA = CD + DE.

K. 32. Egy könyvtárban a következő módon választ 3 gyerek 5 féle könyv közül: az 5 féle könyv mindegyikéből egy-egy példány van egymás mellé kitéve egy asztalra, a gyerekek pedig arra a könyvre teszik az olvasójegyüket, amelyiket ki szeretnék kölcsönözni (egyféle könyvet többen is kölcsönözhetnek, akár mind a hárman, ilyenkor több olvasójegy kerül ugyanazon könyvre, ám egy gyerek csak egy könyvet kölcsönözhet). Két olvasójegy-elrendezés különbözőnek számít, ha legalább egy gyerek nem ugyanazt a könyvet jelölte meg a két elrendezésben. Hány lehetőségük van összesen az olvasójegyek elhelyezésére?

K. 33. Balázsnak van 11 darab műanyag hengere. Ha magasságuk szerint sorba rakja ezeket (a ,,talpukra'' állítva), akkor mindegyik 2 cm-rel nagyobb, mint az azt megelőző. A sorban a legutolsó henger éppen akkora, mint a középső és annak egyik szomszédja egymásra téve. Milyen magas oszlopot lehet építeni a 11 hengert egymásra téve?

K. 34. Oldjuk meg a következő egyenletet:

(x2-4)2 (x+3)2+ (x+2)2(x-9)2=0.

K. 35. Tudjuk, hogy a háromszög súlyvonalai felezik a területét, valamint, hogy egy ponton, a súlyponton haladnak át. Igaz-e, hogy azok a területfelező egyenesek, amelyek párhuzamosak a háromszög valamelyik oldalával, áthaladnak a háromszög súlypontján?

K. 36. Hány olyan, legalább kétjegyű egész szám van, és melyek ezek, melyekre teljesül, hogy 6 milliónál kisebbek, és az őket megelőző, valamint az őket követő egész szám is palindrom? (Palindrom számnak azokat az egész számokat nevezzük, melyek számjegyeit fordított sorrendben írva az eredeti számot kapjuk.)


A C pontversenyben kitűzött gyakorlatok

Minden C-jelű feladat helyes megoldásáért 5 pont jár.

C. 795. Bizonyítsuk be, hogy ha a 10-es számrendszerben felírt \(\displaystyle \overline{a_1a_2a_3a_4a_5a_6}\) szám osztható 7-tel, akkor \(\displaystyle \overline{a_6a_1a_2a_3a_4a_5}\) is osztható 7-tel.

C. 796. Egy derékszögű háromszög beírható körének sugara az átfogóhoz tartozó magasság 0,45-szorosa. Mekkorák a háromszög hegyesszögei?

C. 797. Egy négyzet alakú étkező asztal lábainak hossza valamilyen körüljárás szerinti sorrendben 70 cm, 71 cm, 72,5 cm és 72 cm. Billeg-e az asztal, vagyis van-e két olyan asztalláb, amely soha nem támaszkodik egyszerre a padló síkjára?

C. 798. Oldjuk meg az alábbi egyenletet:

3.4x+(3x-10)2x+3-x=0.

C. 799. Egy tetraéder minden csúcsában ül egy-egy hangya. Egy adott pillanatban mindegyikük elindul egy véletlenszerűen kiválasztott élen, és átmászik rajta a szomszédos csúcsba. Mennyi annak a valószínűsége, hogy két hangya találkozik útközben vagy az út végén?


A B pontversenyben kitűzött feladatok

A B-jelű feladatokra kapható pontszám a feladatok nehézségétől függ. Minden hónapban a 6 legnagyobb pontszám számít be a pontversenybe.

B. 3792. Az M pozitív egészből a tőle különböző N pozitív egész úgy származtatható, hogy M jegyeit valamilyen más sorrendben írjuk fel (első jegyük nem lehet nulla). Lehet-e mindkét szám a 2-nek pozitív egész kitevőjű hatványa?

(4 pont)

B. 3793. Az ABCD négyzet belsejében adott a P pont. Tudjuk, hogy AP=1, BP=2, CP=3. Határozzuk meg a DP távolságot.

(3 pont)

B. 3794. Bizonyítsuk be, hogy ha 0<q<p<1, akkor

p+3q<1+4pq.

(3 pont)

B. 3795. Adott két pont, amelyek távolsága 1 egység. Csak körző segítségével szerkesszünk két olyan pontot, amelyek távolsága \(\displaystyle \sqrt{2}\) egység.

(5 pont)

B. 3796. A k körhöz a külső A pontból érintőket húzunk, az érintési pontok E és F, az EF szakasz felezőpontja G. Egy A-n átmenő egyenes a B, C pontokban metszi a k kört. Bizonyítsuk be, hogy az EF egyenes felezi a BGC szöget.

(4 pont)

B. 3797. Adott az ABC szabályos háromszög. Mi azon P pontok mértani helye a háromszög belsejében, amelyeknek az AB oldaltól mért távolsága mértani közepe a BC és a CA oldaltól mért távolságának?

(4 pont)

B. 3798. Legyen \(\displaystyle \alpha=2+\sqrt{3}\). Bizonyítsuk be, hogy minden pozitív egész n-re

[\(\displaystyle \alpha\)n]=\(\displaystyle \alpha\)n+\(\displaystyle \alpha\)-n-1.

(4 pont)

B. 3799. Két egybevágó szabályos háromszög közös része egy hatszög. Bizonyítsuk be, hogy ebben a hatszögben a másodszomszédos oldalak hosszának összege egyenlő.

(4 pont)

B. 3800. Egy kocka minden csúcsában ül egy-egy hangya. Egy adott pillanatban mindegyikük elindul egy véletlenszerűen kiválasztott élen, és átmászik rajta a szomszédos csúcsba. Mennyi annak a valószínűsége, hogy két hangya találkozik útközben vagy az út végén?

(4 pont)

B. 3801. Jelölje P(n) az első n pozitív prímszám összegét. Bizonyítsuk be, hogy P(n) és P(n+ 1) között van négyzetszám.

(5 pont)


Az A pontversenyben kitűzött nehezebb feladatok

Minden A-jelű feladat helyes megoldásáért 5 pont jár.

A. 365. Legyen \(\displaystyle a_n=\sqrt[\scriptstyle n]{(n+1)!}-\sqrt[\scriptstyle n]{n!}\) . Mutassuk meg, hogy an\(\displaystyle \ge\)1 minden n-re és az an sorozat nem korlátos.

A. 366. Legyen p(n) az n partícióinak száma, r(n) azon partíciók száma, amelyekben n-t különböző páratlan számok összegére bontjuk. Mutassuk meg, hogy p(n) és r(n) paritása megegyezik.

A. 367. a) Az ABC hegyeszögű háromszög D belső pontjára fennáll, hogy

AB.BC.CA=DA.AB.BD+DB.BC .CD+DC.CA .AD.

Határozzuk meg D mértani helyét.

b) Az ABC hegyesszögű háromszög E belső pontjára teljesül, hogy

AB.BC.CA=AE2.BC+BE2.CA+CE2.AB.

Határozzuk meg az E mértani helyét.

Dobos Sándor javaslata alapján

A matematika gyakorlatok és feladatok megoldásai a következő címekre küldhetők:

    KöMaL Szerkesztőség
    Budapest 112, Pf. 32.  1518
illetve
    megoldas@komal.hu (Az interneten keresztül történő beküldésről olvassa el tájékoztatónkat)

A beküldési határidő:

    A K-jelű feladatoknál 2005. március 10.,

    Az A-, B- és C-jelű feladatoknál 2005. március 15., kivéve a C.792., C.793. és B.3785. feladatokat, ezek határideje egy hónappal csúszik.

Támogatóink:   Ericsson   Cognex   Emberi Erőforrás Támogatáskezelő   Emberi Erőforrások Minisztériuma   Nemzeti Tehetség Program    
MTA Energiatudományi Kutatóközpont   MTA Wigner Fizikai Kutatóközpont     Nemzeti
Kulturális Alap   ELTE   Morgan Stanley