KöMaL - Középiskolai Matematikai és Fizikai Lapok
 English
Információ
A lap
Pontverseny
Cikkek
Hírek
Fórum

Rendelje meg a KöMaL-t!

VersenyVizsga portál

Kísérletek.hu

Matematika oktatási portál

A. 379. Find all real numbers \lambda for which there exists a non-zero polynomial P, such that


\frac{P(1)+P(3)+P(5)+\dots+P(2n-1)}{n} = \lambda P(n)

for all n. List all such polynomials for \lambda=2.

(5 points)

Deadline expired on 17 October 2005.


Sketch of solution. Let P(x)=a0+a1x+...+akxk. Both sides of the equation contains a polynomial of n, degree is k. The coefficients must pairwise match.

Since \lim\frac{1^k+3^k+\dots+(2n-1)^k}{n^{k+1}}=\frac{2^k}{k+1}, the coefficient of nk is \frac{2^k}{k+1}a_k on the left-hand side, and it is \lambdaak on the right-hand side. Therefore, \lambda=\frac{2^k}{k+1}.

If \lambda=\frac{2^k}{k+1} then we have a homogenous system of linear equations for the coefficients and one of these equations vanishes. So the system has infinitely many solutions.

For \lambda=2 we obtain k=3 and P(x)=c(x3-x).


Statistics on problem A. 379.
15 students sent a solution.
5 points:Erdélyi Márton, Estélyi István, Gyenizse Gergő, Kónya 495 Gábor, Nagy 224 Csaba, Paulin Roland, Tomon István.
4 points:Jankó Zsuzsanna, Molnár 999 András.
3 points:2 students.
1 point:1 student.
0 point:3 students.


  • Problems in Mathematics of KöMaL, September 2005

  • Támogatóink:   Ericsson   Cognex   Emberi Erőforrás Támogatáskezelő   Emberi Erőforrások Minisztériuma   Nemzeti Tehetség Program    
    MTA Energiatudományi Kutatóközpont   MTA Wigner Fizikai Kutatóközpont     Nemzeti
Kulturális Alap   ELTE   Morgan Stanley