Középiskolai Matematikai és Fizikai Lapok
Informatika rovattal
Kiadja a MATFUND Alapítvány
Már regisztráltál?
Új vendég vagy?

Az A. 379. feladat (2005. szeptember)

A. 379. Határozzuk meg az összes olyan \lambda valós számot, amelyhez létezik olyan 0-tól különböző P polinom, hogy tetszőleges n pozitív egészre

\frac{P(1)+P(3)+P(5)+\dots+P(2n-1)}{n} = \lambda P(n).

Írjuk fel az összes ilyen polinomot \lambda=2 esetén.

Vojtech Jarnik matematikaverseny, Ostrava, 2005

(5 pont)

A beküldési határidő 2005. október 17-én LEJÁRT.


Megoldásvázlat. Legyen P(x)=a0+a1x+...+akxk. Az egyenlet mindkét oldalán n-nek egy-egy k-adfokú polinomja áll; ezeknek együtthatónként meg kell egyezniük.

Mivel \lim\frac{1^k+3^k+\dots+(2n-1)^k}{n^{k+1}}=\frac{2^k}{k+1}, az nk együtthatója a baloldalon \frac{2^k}{k+1}a_k, a jobboldalon pedig \lambdaak. Tehát \lambda=\frac{2^k}{k+1}. Ha \lambda ilyen alakú, akkor a P együtthatóit egy homogén lineáris egyenletrendszer szabja meg, amelyben az egyik egyenlet teljesen eltűnik; az egyenletrendszernek tehát végtelen sok megoldása van.

A \lambda=2 esetben P(x)=c(x3-x).


Statisztika:

15 dolgozat érkezett.
5 pontot kapott:Erdélyi Márton, Estélyi István, Gyenizse Gergő, Kónya 495 Gábor, Nagy 224 Csaba, Paulin Roland, Tomon István.
4 pontot kapott:Jankó Zsuzsanna, Molnár 999 András.
3 pontot kapott:2 versenyző.
1 pontot kapott:1 versenyző.
0 pontot kapott:3 versenyző.

A KöMaL 2005. szeptemberi matematika feladatai