Az A. 380. feladat (2005. október)

A. 380. A K konvex n-szög egy egységnégyzet belsejében fekszik. Mutassuk meg, hogy kiválasztható három csúcsa úgy, hogy az általuk meghatározott háromszög területe kisebb, mint $\frac{80}{n^3}$ egység.

(5 pont)

A beküldési határidő 2005. november 15-én LEJÁRT.

Megoldás. Megmutatjuk, hogy van K-nak három egymás utáni csúcsa, amik elegendően kicsit háromszöget határoznak meg.

A K konvex sokszög és része az egységnégyzetnek, ezért a kerülete, k legfeljebb 4.

Legyen az i-edik oldal hossza d_i, az i-edik és (i+1)-edik oldal szöge $\pi$ - $\varphi$ _i. Mivel

$\sum_{i=1}^n\left(d_i+d_{i+1}+{2\over\pi}\varphi_i\right)= 2k+{2\over\pi}\cdot2\pi\le12,$

van olyan i, amire $d_i+d_{i+1}+{2\over\pi}\varphi_i\le{12\over n}$ . Az i-edik és (i+1)-edik oldal által meghatározott háromszög területe

${1\over2}d_id_{i+1}\sin\varphi_i < {1\over2}d_id_{i+1}\varphi_i = {\pi\over4}\left(d_i\cdot d_{i+1}\cdot{2\over\pi}\varphi_i\right) \le$

$\le {\pi\over4}\left({d_i+d_{i+1}+{2\over\pi}\varphi_i\over3}\right)^3 \le {\pi\over4}\left({4\over n}\right)^3 = {16\pi\over n^3} < {51\over n^3}.$

Statisztika:

15 dolgozat érkezett.

5 pontot kapott: Dücső Márton, Erdélyi Márton, Gyenizse Gergő, Hujter Bálint, Jankó Zsuzsanna, Kisfaludi-Bak Sándor, Kónya 495 Gábor, Nagy 224 Csaba, Paulin Roland, Tomon István.

4 pontot kapott: Bogár 560 Péter.

1 pontot kapott: 3 versenyző.

0 pontot kapott: 1 versenyző.

A KöMaL 2005. októberi matematika feladatai

15 dolgozat érkezett.
5 pontot kapott:	Dücső Márton, Erdélyi Márton, Gyenizse Gergő, Hujter Bálint, Jankó Zsuzsanna, Kisfaludi-Bak Sándor, Kónya 495 Gábor, Nagy 224 Csaba, Paulin Roland, Tomon István.
4 pontot kapott:	Bogár 560 Péter.
1 pontot kapott:	3 versenyző.
0 pontot kapott:	1 versenyző.

Már regisztráltál?
Új vendég vagy?