KöMaL - Középiskolai Matematikai és Fizikai Lapok
Sign In
Sign Up
 Magyar
Information
Contest
Journal
Articles

 

Problem A. 388. (December 2005)

A. 388. In the hexagon ABCDEF we have AB=BC, CD=DE and EF=FA. Prove that


\frac{AB}{BE}+\frac{CD}{DA}+\frac{EF}{FC}\ge\frac32.

(5 pont)

Deadline expired on 16 January 2006.


Solution. Apply Ptolemaios' inequality for the quadrilateral ABCE:

AB.CE+BC.EA\geAC.BE.

Knowing that AB=BC,

AB.(CE+EA)\geAC.BE,

 \frac{AB}{BE} \ge \frac{AC}{CE+EA}.

Similarly

 \frac{CD}{DA} \ge \frac{CE}{EA+AC}

and

 \frac{EF}{FC} \ge \frac{EA}{AC+CE}.

Let AC=x, CE=y and EA=z. Summing up the inequalities above,

 \frac{AB}{BE}+\frac{CD}{DA}+\frac{EF}{FC}\ge
\frac{x}{y+z}+\frac{y}{z+x}+\frac{z}{x+y}.

By the AM-HM inequality

 \frac{x}{y+z}+\frac{y}{z+x}+\frac{z}{x+y} =

 = 
\left(\frac{x+y+z}{y+z}-1\right)+
\left(\frac{x+y+z}{z+x}-1\right)+
\left(\frac{x+y+z}{x+y}-1\right)=

 = (x+y+z)\left(\frac1{y+z}+\frac1{z+x}+\frac1{x+y}\right)-3
\ge

\ge
(x+y+z)\cdot\frac{9}{(y+z)+(z+x)+(x+y)}-3=\frac32.


Statistics:

15 students sent a solution.
5 points:Blázsik Zoltán, Dücső Márton, Erdélyi Márton, Estélyi István, Fischer Richárd, Gyenizse Gergő, Hujter Bálint, Jankó Zsuzsanna, Kisfaludi-Bak Sándor, Kónya 495 Gábor, Kutas Péter, Nagy 224 Csaba, Paulin Roland, Tomon István, Viktor Simjanoski.

Our web pages are supported by:   Ericsson   Cognex   Emberi Erőforrás Támogatáskezelő   Emberi Erőforrások Minisztériuma   Nemzeti Tehetség Program    
MTA Energiatudományi Kutatóközpont   MTA Wigner Fizikai Kutatóközpont     Nemzeti
Kulturális Alap   ELTE   Morgan Stanley