Középiskolai Matematikai és Fizikai Lapok
Informatika rovattal
Kiadja a MATFUND Alapítvány
Már regisztráltál?
Új vendég vagy?

Az A. 398. feladat (2006. április)

A. 398. Adott a síkon egy k kör, a körön kívül fekvő \ell egyenes, továbbá a körön egy O pont.

Definiáljuk a k kör pontjain a + kétváltozós műveletet a következőképpen. A kör bármely X, Y pontpárjára jelöljük MXY-nal \ell és az XY egyenes metszéspontját. (Ha X=Y, akkor az XY egyenes az érintő. Ha a két egyenes párhuzamos, akkor MXY az \ell ideális pontja.) Szerkesszük meg az OMXY egyenes és a kör másik metszéspontját. (Ha OMXY érinti a kört, akkor a másik metszéspont is O.) Ez a pont legyen X+Y.

Mutassuk meg, hogy a + művelet kiterjeszthető a k kör és az \ell egyenes összes, valamint \ell ideális pontjára úgy, hogy a pontok a + művelettel kommutatív csoportot alkossanak, amelynek egységeleme az O pont, azaz teljesüljenek a következő feltételek:

a) Tetszőleges X, Y, Z-re (X+Y)+Z=X+(Y+Z);

b) Tetszőleges X, Y esetén X+Y=Y+X;

c) Tetszőleges X-re X+O=X;

d) Tetszőleges X-hez létezik olyan Y, amelyre X+Y=O.

(5 pont)

A beküldési határidő 2006. május 18-án LEJÁRT.


Statisztika:

9 dolgozat érkezett.
5 pontot kapott:Jankó Zsuzsanna, Kisfaludi-Bak Sándor, Nagy 224 Csaba, Paulin Roland, Tomon István.
3 pontot kapott:1 versenyző.
1 pontot kapott:2 versenyző.
0 pontot kapott:1 versenyző.

A KöMaL 2006. áprilisi matematika feladatai