KöMaL - Középiskolai Matematikai és Fizikai Lapok
Sign In
Sign Up
 Magyar
Information
Contest
Journal
Articles

 

Problem A. 405. (September 2006)

A. 405. The real numbers a, b, c, x, y, z satisfy a\geb\gec>0 and x\gey\gez>0. Prove that


\frac{a^2x^2}{(by+cz)(bz+cy)} + \frac{b^2y^2}{(cz+ax)(cx+az)} + \frac{c^2z^2}{(ax+by)(ay+bx)}
\ge \frac34.

(Korean competition problem)

(5 pont)

Deadline expired on 16 October 2006.


Solution. We will use Nesbitt's inequality: for arbitrary positive numbers A,B,C,

\frac{A}{B+C}+\frac{B}{C+A}+\frac{C}{A+B}\ge\frac32.

(This is equivalent to the AM-HM inequality for numbers B+C, C+A and A+B.)

By the rearrangement inequality, bz+cy\leby+cz and

(by+cz)(bz+cy)\le(by+cz)2\le2(b2y2+c2z2).

It can be obtained similarly that

(cz+ax)(cx+az)\le2(c2z2+a2x2)

and

(ax+by)(ay+bx)\le2(a2x2+b2y2).

Applying these estiamtes and Nesbitt's inequality on the numbers a2x2, b2y2 and c2z2,


\frac{a^2x^2}{(by+cz)(bz+cy)} + \frac{b^2y^2}{(cz+ax)(cx+az)} + \frac{c^2z^2}{(ax+by)(ay+bx)}
\ge

\ge \frac12\left(
\frac{a^2x^2}{b^2y^2+c^2z^2} +
\frac{b^2y^2}{c^2z^2+a^2x^2} +
\frac{c^2z^2}{a^2x^2+b^2y^2} +
\right)
\ge \frac12\cdot\frac32 = \frac34.


Statistics:

26 students sent a solution.
5 points:Blázsik Zoltán, Dobribán Edgár, Farkas Ádám László, Fischer Richárd, Gyenizse Gergő, Gyürke Csaba, Hujter Bálint, Károlyi Márton, Kisfaludi-Bak Sándor, Kónya 495 Gábor, Korándi Dániel, Kornis Kristóf, Kutas Péter, Lovász László Miklós, Nagy 224 Csaba, Nagy 235 János, Nagy 314 Dániel, Sümegi Károly, Szilágyi Dániel, Szirmai Péter, Szűcs 003 Gábor, Tomon István, Tossenberger Anna, Varga 171 László.
1 point:1 student.
0 point:1 student.

Our web pages are supported by:   Ericsson   Cognex   Emberi Erőforrás Támogatáskezelő   Emberi Erőforrások Minisztériuma   Nemzeti Tehetség Program    
MTA Energiatudományi Kutatóközpont   MTA Wigner Fizikai Kutatóközpont     Nemzeti
Kulturális Alap   ELTE   Morgan Stanley