KöMaL - Középiskolai Matematikai és Fizikai Lapok
Sign In
Sign Up
 Magyar
Information
Contest
Journal
Articles

 

Problem A. 408. (October 2006)

A. 408. The positive reals a_1,a_2,\ldots,a_n and b1\leb2\le...\lebn satisfy a1+a2+...+ak\leb1+b2+...+bk for all 1\lek\len. Prove that


\frac1{a_1}+\frac1{a_2}+\cdots+\frac1{a_n} \ge \frac1{b_1}+\frac1{b_2}+\cdots+\frac1{b_n}.

(5 pont)

Deadline expired on 15 November 2006.


Solution. Applying the weighted AM-HM inequality,


\frac{\frac1{b_1}\cdot\frac{b_1}{a_1}+\dots+
\frac1{b_n}\cdot\frac{b_n}{a_n}}{\frac1{b_1}+\dots+\frac1{b_n}}\ge
\frac{\frac1{b_1}+\dots+\frac1{b_n}}{
\frac1{b_1}\cdot\frac{a_1}{b_1}+\dots+
\frac1{b_n}\cdot\frac{a_n}{b_n}},

so


\frac1{a_1}+\dots+\frac1{a_n}\ge
\frac{\left(\frac1{b_1}+\dots+\frac1{b_n}\right)^2}{
\frac{a_1}{b_1^2}+\dots+\frac{a_n}{b_n^2}}.

Estimate the last denominator as


\frac{a_1}{b_1^2}+\dots+\frac{a_n}{b_n^2}=
\sum_{k=1}^{n-1}\left(\frac1{b_k^2}-\frac1{b_{k+1}^2}\right)
(a_1+\dots+a_k)+\frac1{b_n^2}(a_1+\dots+a_n)\le

\le
\sum_{k=1}^{n-1}\left(\frac1{b_k^2}-\frac1{b_{k+1}^2}\right)
(b_1+\dots+b_k)+\frac1{b_n^2}(b_1+\dots+b_n)=
\frac{b_1}{b_1^2}+\dots+\frac{b_n}{b_n^2}=
\frac1{b_1}+\dots+\frac1{b_n}.

Therefore,


\frac1{a_1}+\dots+\frac1{a_n}\ge
\frac{\left(\frac1{b_1}+\dots+\frac1{b_n}\right)^2}{
\frac{a_1}{b_1^2}+\dots+\frac{a_n}{b_n^2}} \ge
\frac{\left(\frac1{b_1}+\dots+\frac1{b_n}\right)^2}{
\frac1{b_1}+\dots+\frac1{b_n}} =
\frac1{b_1}+\dots+\frac1{b_n}.


Statistics:

14 students sent a solution.
5 points:Gyenizse Gergő, Hujter Bálint, Kisfaludi-Bak Sándor, Kónya 495 Gábor, Lovász László Miklós, Nagy 224 Csaba, Nagy 314 Dániel, Sümegi Károly, Tomon István, Wolosz János.
4 points:Korándi Dániel, Kornis Kristóf, Nagy 235 János.
3 points:1 student.

Our web pages are supported by:   Ericsson   Cognex   Emberi Erőforrás Támogatáskezelő   Emberi Erőforrások Minisztériuma   Nemzeti Tehetség Program    
MTA Energiatudományi Kutatóközpont   MTA Wigner Fizikai Kutatóközpont     Nemzeti
Kulturális Alap   ELTE   Morgan Stanley