Középiskolai Matematikai és Fizikai Lapok
Informatika rovattal
Kiadja a MATFUND Alapítvány
Már regisztráltál?
Új vendég vagy?

Az A. 433. feladat (2007. szeptember)

A. 433. Igazoljuk, hogy ha a, b, c valós számok és a2+b2+c2=1, akkor

a+b+c \le 2abc+\sqrt2.

Javasolta: Bodnár János, Budapest

(5 pont)

A beküldési határidő 2007. október 15-én LEJÁRT.

1. megoldás. Könnyen látható, hogy egyenlőség áll, ha a,b,c közül az egyik 0, a másik kettő értéke pedig \frac1{\sqrt2}.

Legyen u=1-\sqrt2a, v=1-\sqrt2b és w=1-\sqrt2c. Ezekkel a változókkal a feltétel a következőképpen írható:

(1-u)2+(1-v)2+(1-w)2=2(a2+b2+c2)=2;(1a)
u2+v2+w2=2(u+v+w)-1;(1b)
uv+vw+wu = \frac12(u+v+w-1)^2. (1c)

A bizonyítandó állítás:

(1-u)+(1-v)+(1-w) = \sqrt2(a+b+c) \le 2\sqrt2abc+2 = (1-u)(1-v)(1-w)+2,

uvw\leuv+vw+wu.

1. eset: u,v,w mindegyike nemnegatív. A feltételből |1-u|\le\sqrt2, amiből u\le\sqrt2+1<3; hasonlóan kapjuk, hogy v<3 és w<3. Ha u,v,w\ge0, akkor tehát

uv+vw+wu \ge uv\cdot\frac{w}3 + vw\cdot\frac{u}3 + wu\cdot\frac{v}3 = uvw,

vagyis az állítás teljesül.

2. eset: u,v,w közül legalább az egyik negatív. Az (1a) egyenletből láthatjuk, hogy nem lehet közöttük kettő negatív, különben (1-u)2+(1-v)2+(1-w)2>2 lenne. Ekkor tehát

uvw \le 0 \le \frac12(u+v+w-1)^2 = uv+vw+wu,

az állítás tehát ebbben az esetben is teljesül.

2. megoldás. A feltételből 2ab\lea2+b2\lea2+b2+c2=1; hasonlóan 2ac\le1 és 2bc\le1.

Mivel

2-(a+b+c-2abc)2=1+(a2+b2+c2)-(a+b+c-2abc)2=(1-2ab)(1-2ac)(1-2bc)+4a2b2c2\ge0,

|a+b+c-2abc|\le\sqrt2.

Tuan Nhat Le dolgozata alapján

Statisztika:

16 dolgozat érkezett.
5 pontot kapott:Blázsik Zoltán, Huszár Kristóf, Korándi Dániel, Lovász László Miklós, Nagy 235 János, Nagy 314 Dániel, Szűcs Gergely, Tomon István, Tossenberger Anna, Tuan Nhat Le, Wolosz János.
1 pontot kapott:1 versenyző.
0 pontot kapott:4 versenyző.

A KöMaL 2007. szeptemberi matematika feladatai