KöMaL - Középiskolai Matematikai és Fizikai Lapok
 English
Információ
A lap
Pontverseny
Cikkek
Hírek
Fórum

Rendelje meg a KöMaL-t!

Kifordítható

tetraéder

VersenyVizsga portál

Kísérletek.hu

Matematika oktatási portál

A. 436. Prove that


\big| \big\{n\sqrt2\,\big\} - \big\{n\sqrt3\,\big\}\big| > \frac1{20n^3}

for every positive integer n.

(5 points)

Deadline expired on 15 November 2007.


Solution. Let t=\big\{n\sqrt2\,\big\}-\big\{n\sqrt3\,\big\} and k=\big[n\sqrt3\big]-\big[n\sqrt2\big]. Then t=k-\big(\sqrt3-\sqrt2\big)n\ne0, since \sqrt3-\sqrt2=\sqrt{5-2\sqrt6} is irrational.

Write


t = \frac{
\big(k-(\sqrt3-\sqrt2)n\big)\big(k-(\sqrt3+\sqrt2)n\big)
\big(k+(\sqrt3-\sqrt2)n\big)\big(k+(\sqrt3+\sqrt2)n\big)}{
\big(k-(\sqrt3+\sqrt2)n\big)\big(k+(\sqrt3-\sqrt2)n\big)
\big(k+(\sqrt3+\sqrt2)n\big)} =


= \frac{k^4-10k^2n^2+n^4}{
\big(t-2\sqrt2n\big)\big(t+2(\sqrt3-\sqrt2)n\big)\big(t+2\sqrt3n\big)}.

The numerator is an integer which is not 0. In the denominator we have

 \big|t-2\sqrt2n\big| \le 2\sqrt2n+\frac1{20} \le \left(2\sqrt2+\frac1{20}\right)n,

 \big|t+2(\sqrt3-\sqrt2)n\big| \le 2(\sqrt3-\sqrt2)n+\frac1{20} \le 
\left(2\sqrt3-2\sqrt2+\frac1{20}\right)n

and

 \big|t+2\sqrt3n\big| \le 2\sqrt3n+\frac1{20} \le \left(2\sqrt3+\frac1{20}\right)n,

therefore

 |t| \ge \frac1{
\big(2\sqrt2+\frac1{20}\big)
\big(2\sqrt3+2\sqrt2-\frac1{20}\big)
\big(2\sqrt3+\frac1{20}\big)n^3} > \frac1{7n^3}.

We obtained that

 |t| \ge \min\left(\frac1{20},\frac1{7n^3}\right) \ge \frac1{20n^3}.


Statistics on problem A. 436.
7 students sent a solution.
5 points:Korándi Dániel, Lovász László Miklós, Nagy 235 János, Tomon István.
3 points:1 student.
1 point:1 student.
Unfair, not evaluated:1 solution.


  • Problems in Mathematics of KöMaL, October 2007

  • Támogatóink:   Ericsson   Cognex   Emberi Erőforrás Támogatáskezelő   Emberi Erőforrások Minisztériuma   Nemzeti Tehetség Program    
    MTA Energiatudományi Kutatóközpont   MTA Wigner Fizikai Kutatóközpont     Nemzeti
Kulturális Alap   ELTE   Morgan Stanley