Középiskolai Matematikai és Fizikai Lapok
Informatika rovattal
Kiadja a MATFUND Alapítvány
Már regisztráltál?
Új vendég vagy?

Az A. 438. feladat (2007. november)

A. 438. Az ABC szabályos háromszög körülírt körének AB ívén vegyük fel a P, a BC íven a Q és R, továbbá a CA íven az S és T pontokat úgy, hogy AP=BQ=CR=CS=AT teljesüljön. A BQ és PR egyenesek metszéspontja legyen U, az AS és PT metszéspontja V; végül az AU és BV egyenesek metszéspontját jelöljük W-vel. Igazoljuk, hogy az AU, BV és PW egyenesek páronként 60o-os szöget zárnak be.

(5 pont)

A beküldési határidő 2007. december 17-én LEJÁRT.


Megoldásvázlat. Az APV és PBA háromszögek hasonlók, mivel VAP\angle=SAP\angle=APB\angle=PBQ\angle=PBU\angle=120o és APV\angle=PBA\angle.

Legyen \varphi az a forgatva nyújtás, am az APV háromszöget a PBA háromszögbe viszi, azaz \varphi(V)=A, \varphi(A)=P és \varphi(P)=B. Mivel az AP és PB vektorok 60circ-os szöget zárnak be, az elforgatás szöge 60o.

A PB egyenes \varphi szerinti képe a BQ egyenes, mert \varphi(PB) átmegy \varphi(P)=B-n és az iránya megegyezik BP irányával (mivel \PBQ\angle=120^\circ. Hasonlóan kapjuk, hogy az AB egyenes képe PR. Mindezek alapján

\varphi(B)=\varphi(PB\capAB)=\varphi(PB)\cap\varphi(AB)=BQ\capPR=U.

A \varphi transzformáció tehát V-t A-ba, A-t P-be, P-t B-be és B-t U-ba viszi.

Legyen a forgatva nyújtás középpontja O. Ekkor AOV\angle=POA\angle=BOP\angle=UOB\angle=60o. Ez pedig azt jelenti, hogy O=W és a VW, AW, PW, BW és UW szakaszok rendre 60o-os szögeket zárnak be egymással.


Statisztika:

9 dolgozat érkezett.
5 pontot kapott:Huszár Kristóf, Korándi Dániel, Kornis Kristóf, Lovász László Miklós, Nagy 235 János, Nagy 314 Dániel, Tomon István, Wolosz János.
Nem versenyszerű:1 dolgozat.

A KöMaL 2007. novemberi matematika feladatai