KöMaL - Középiskolai Matematikai és Fizikai Lapok
Sign In
Sign Up
 Magyar
Information
Contest
Journal
Articles

 

Problem A. 440. (December 2007)

A. 440. Given an isosceles triangle ABC such that the midpoint of base BC is M, points D and E lie on sides AB and AC, respectively, and DE is parallel to BC.

Choose two points, P and Q on the extensions of segment BC beyond B and C, respectively, such that \frac 1{MP}+\frac 1{MQ} =\frac 1{MB}. Let PD and QE meet at R. What is the locus of point R?

(5 pont)

Deadline expired on 15 January 2008.


Sorry, the solution is available only in Hungarian. Google translation

Megoldás (Lovász László Miklós megoldása). Legyen MB=MC=x, BP=p, CQ=q. Mivel P a B-n túli meghosszabbításon van, Q a C-n túlin, MP=MB+BP, és MQ=MC+CQ. Ekkor a megadott feltételt felírhatjuk úgy, hogy \frac{1}{x+p}+\frac{1}{x+q}=\frac{1}{x}. A nevezőkkel ha felszorzunk (egyik se lehet nulla), azt kapjuk, hogy ez ekvivalens azzal, hogy x2+xq+x2+xp=x2+xq+xp+pq. Ezt leegyszerűsítve: x2=pq, vagyis \frac{x}{p}=\frac{q}{x}

Nyilván BD=CE. Nézzük először azt az esetet, amikor BD=MB Ekkor \frac{DB}{BP}=\frac{QC}{CE}. Legyen ABC\angle=\beta. Ekkor nyilván ACB\angle=\beta Ebből PBD\angle=180o-\beta=ECQ\angle. Tehát a PBD és ECQ háromszögek hasonlók. Mivel DE||BC, RED\angle=CQE\angle=BDP\angle, és RDE\angle=DPB\angle. Tehát a DRE háromszög is hasonló a PBD háromszöghöz. Ebből DRE\angle=180o-\beta. Vagyis a DRE szög állandó, így a DE fölötti, 180o-\beta szögű látóköríven van. (Nyilván R DE "fölött" van, mert P és Q BC-nek a B illetve C-n túli meghosszabbításán van.) Tehát egy állandó körön van. RDE\angle+DER\angle=\beta, tehát mivel DEA\angle=BCA\angle=\beta, RDE\angle=REA\angle. Tehát ha nézzük az RDE körülírt körét, ezt az AE egyenes érinti. Hasonló módon az AD egyenes is érinti ezt a kört. Viszont mivel AD=AE, BD=BM, CM=CE, ez pont a beírt kör lesz. Tehát azt kaptunk, hogy ebben az esetben az ABC beírt körének DE "fölötti", vagyis BC-vel ellentétes oldalán lévő részén van. Nyilván minden ilyen pontot megkapunk, mert ha választunk rajta egy pontot, azt összekötjük D és E-vel, és a hosszabításaikat elnevezzük P és Q-nak, akkor azok jók lesznek, csak ezt a gondolatmenetet meg kell fordítani.

Nézzük azt az esetet, amikor BD\neBM Ekkor létezik olyan affinitás, amelyben csak függőlegesen, vagyis BC-re merőlegesen mozgatjuk a pontokat, és olyan arányban, hogy BD egyenlő legyen BM-el. Ez az affinitás a P, B, M, C, és Q pontokon nem változtat, vagyis ugyanazokat a P és Q pontokat kapjuk. Az affinitás egyenest egyenesbe visz, tehát az R pontokkal is ugyanaz történik. Vagyis az affinitás után az ilyen R pontok mértani helye a beírt kör. Az affinitás során kört csak ellipszisből kaphattunk. Tehát eredetileg az alakzat ellipszis volt. Az affinitás azon nem változtat, hogy ez érinti az egyeneseket a D, E, és M pontokban. Tehát az eredeti ábrában az ilyen R pontok mértani helye azok, amelyek a háromszögben lévő, D, E, és M pontokban érintő ellipszis, és persze ennek DE BC-vel ellentétes oldalán lévő része.

Megjegyzés. Nem tekintettük teljesnek azokat a megoldásokat, amelyek az ellipszisről nem mutatták meg, hogy érintik az AB és AC oldalakat, illetve azt, hogy a elipszis alkalmas affinitás hatására a beírt körbe megy át.

Két versenyző az ellipszis egyenletét írta fel a kelleténél bonyolultabban, egy pedig az ellipszis megadásához egy további, mesterséges pontot használt. Mivel ők hárman a keresett ellipszis fenti, lényeges geometriai tujdonságát nem fedezték fel, 4 pontot kaptak.


Statistics:

8 students sent a solution.
5 points:Blázsik Zoltán, Korándi Dániel, Lovász László Miklós, Nagy 314 Dániel.
4 points:Nagy 235 János, Tomon István, Wolosz János.
Unfair, not evaluated:1 solution.

Our web pages are supported by:   Ericsson   Cognex   Emberi Erőforrás Támogatáskezelő   Emberi Erőforrások Minisztériuma   Nemzeti Tehetség Program    
MTA Energiatudományi Kutatóközpont   MTA Wigner Fizikai Kutatóközpont     Nemzeti
Kulturális Alap   ELTE   Morgan Stanley