KöMaL - Középiskolai Matematikai és Fizikai Lapok
 English
Információ
A lap
Pontverseny
Cikkek
Hírek
Fórum

Rendelje meg a KöMaL-t!

Kifordítható

tetraéder

VersenyVizsga portál

Kísérletek.hu

Matematika oktatási portál

A. 460. If p(x) is a polynomial with degree less than 2n, show that


|p(n)| \le 2\sqrt{n} \cdot
\max\big(
|p(0)|, |p(1)|, \ldots, |p(n-1)|, 
|p(n+1)|, |p(n+2)|, \ldots, |p(2n)| \big).

(5 points)

Deadline expired on 17 November 2008.


Solution (outline). As is well-known

 \sum_{k=0}^m (-1)^k \binom{m}{k} p(k) = 0

for all polynomials p with degree less than m. We will apply this for m=2n.

Moreover, it can be proved easily that \binom{2n}{n}\ge\frac{2^{2n-1}}{\sqrt{n}}.

Let M=\max\big(|p(0)|, |p(1)|, \ldots, |p(n-1)|, 
|p(n+1)|, |p(n+2)|, \ldots, |p(2n)| \big). Then


\binom{2n}{n}|p(n)| =
\left| \sum_{0\le k\le2n,~k\ne n} (-1)^k \binom{2n}{k} p(k) \right| \le
\sum_{0\le k\le2n,~k\ne n} \binom{2n}{k} |p(k)| \le


\le \left(\sum_{0\le k\le2n,~k\ne n} \binom{2n}{k}\right) M =
\left(2^{2n}-\binom{2n}{n}\right)M,


|p(n)| \le \frac{2^{2n}-\binom{2n}{n}}{\binom{2n}{n}} M=
\left(\frac{2^{2n}}{\binom{2n}{n}}-1\right) M \le
\left(2\sqrt{n}-1\right)M.


Statistics on problem A. 460.
7 students sent a solution.
5 points:Backhausz Tibor, Bodor Bertalan, Nagy 235 János, Nagy 314 Dániel, Tomon István.
0 point:2 students.


  • Problems in Mathematics of KöMaL, September 2008

  • Támogatóink:   Ericsson   Cognex   Emberi Erőforrás Támogatáskezelő   Emberi Erőforrások Minisztériuma   Nemzeti Tehetség Program    
    MTA Energiatudományi Kutatóközpont   MTA Wigner Fizikai Kutatóközpont     Nemzeti
Kulturális Alap   ELTE   Morgan Stanley