KöMaL - Középiskolai Matematikai és Fizikai Lapok
Sign In
Sign Up
 Magyar
Information
Contest
Journal
Articles

 

Problem A. 468. (December 2008)

A. 468. We are given two triangles. Their side lengths are a,b,c and A,B,C respectively, the areas are t and T, respectively. Prove that -a2A2+a2B2+a2C2+b2A2-b2B2+b2C2+c2A2+c2B2-c2C2\ge16tT.

(5 pont)

Deadline expired on 15 January 2009.


Solution. Let \gamma and \Gamma the two angles opposite to sides c and C, respectively. From the cosine law we have a2+b2-c2=2abcos \gamma and A2+B2-C2=2ABsin \Gamma; the two areas are t=\frac12ab\sin\gamma and T=\frac12AB\sin\Gamma.

Substituing these quantities,

-a2A2+a2B2+a2C2+b2A2-b2B2+b2C2+c2A2+c2B2-c2C2-16tT=

=2a2B2+2A2b2-(a2+b2-c2)(A2+B2-C2)-16tT=

=2a2B2+2A2b2-4abABcos \gammacos \Gamma-4abABsin \gammasin \Gamma=

=2(aB-Ab)2+4abAB(1-cos (\gamma-\Gamma))\ge0.


Statistics:

12 students sent a solution.
5 points:Blázsik Zoltán, Bodor Bertalan, Éles András, Márkus Bence, Nagy 235 János, Nagy 648 Donát, Somogyi Ákos, Tomon István, Tossenberger Anna, Varga 171 László, Wolosz János.
4 points:Backhausz Tibor.

Our web pages are supported by:   Ericsson   Cognex   Emberi Erőforrás Támogatáskezelő   Emberi Erőforrások Minisztériuma   Nemzeti Tehetség Program    
MTA Energiatudományi Kutatóközpont   MTA Wigner Fizikai Kutatóközpont     Nemzeti
Kulturális Alap   ELTE   Morgan Stanley