KöMaL - Középiskolai Matematikai és Fizikai Lapok
 English
Információ
A lap
Pontverseny
Cikkek
Hírek
Fórum

Rendelje meg a KöMaL-t!

MBUTTONS

VersenyVizsga portál

Kísérletek.hu

Matematika oktatási portál

A. 469. Let 0\lek\len and m\ge2 be integers. Consider the k-element subsets of \{1,2,\ldots,n\}; in every such subset, compute the residue of the sum of elements, modulo m. Prove that if the m residues are distributed uniformly - i.e. every residue occurs exactly \frac{\binom{n}{k}}{m} times - then n\gem.

(5 points)

Deadline expired on 16 February 2009.


Google Translation (Sorry, the solution is published in Hungarian only.)

Megoldásvázlat. Legyen


S_m(n,k)=\sum_{1\le x_1<x_2<\ldots<x_k\le n}
e^{2\pi i \frac{x_1+x_2+\ldots+x_k}m}.

Az e^{2\pi i \frac{x_1+x_2+\ldots+x_k}m} tag értéke attól függ, hogy x_1+x_2+\ldots+x_k hány maradékot ad m-mel osztva. Ha m>1 és mindegyik maradék ugyanannyiszor, pontosan \frac{\binom{n}{k}}{m}-szer fordul elő, akkor


S_m(n,k)=\frac{\binom{n}{k}}{m}\sum_{\ell=0}^{m-1}e^{2\pi i\frac{\ell}{m}}=0.

Az állítás igazolásához tehát elegendő megmutatni, hogy 0\lek\len<m esetén Sm(n,k)\ne0.

 

Az Sm(n,k) függvényről bebizonyítjuk a következőket:

(a) Ha k=0 vagy k=n, akkor |Sm(n,k)|=1;

(b) Tetszőleges 0<k<n esetén

 S_m(n,k) = S_(n-1,k) + e^{2\pi i\frac{n}{m}} S_n(n-1,k-1);

(c) Az Sm(n,k) komplex szám párhuzamos (azonos vagy ellentétes irányú) az e^{\pi i\frac{k(n+1)\pi}m} számmal, azaz \arg S_m(n,k)\equiv\frac{k(n+1)\pi}m~(\mod\pi).

Az (a) tulajdonság triviális, mert az Sm(n,k) egyetlen --- egységnyi hosszúságú --- tagból áll.

A (b) bizonyításához adjuk össze külön azokat a tagokat, amikor xk=n, illetve azokat, amikor xk<n:


S_m(n,k) =
\sum_{1\le x_1<x_2<\ldots<x_k\le n-1}
e^{2\pi i \frac{x_1+x_2+\ldots+x_k}m} +
\sum_{1\le x_1<x_2<\ldots<x_{k-1}\le n-1}
e^{2\pi i \frac{x_1+x_2+\ldots+x_{k-1}+n}m} =


=\sum_{1\le x_1<x_2<\ldots<x_k\le n-1}
e^{2\pi i \frac{x_1+x_2+\ldots+x_k}m} +
e^{2\pi i \frac{n}m} \sum_{1\le x_1<x_2<\ldots<x_{k-1}\le n-1}
e^{2\pi i \frac{x_1+x_2+\ldots+x_{k-1}}m} =


= S_m(n-1,k) + 
e^{2\pi i \frac{n}m} S_m(n-1,k-1).

A (c) tulajdonság bizonyításához rendezzük párokba a szám k-asokat; legyen (x_1,x_2,\ldots,x_k) párja (n+1-xk,n+1-xk-1,...,n+1-x1). Tetszőleges k-asra az e^{2\pi i \frac{x_1+\ldots+x_k}m} és e^{2\pi i \frac{(n+1-x_k)+\ldots+(n+1-x_1)}m} komplex számok szimetrikusak e^{\pi i\frac{k(n+1)\pi}m} irányára. Előfordulhat, hogy egy k-as a saját párja, ilyenkor e^{2\pi i \frac{x_1+\ldots+x_k}m}=1\cdot e^{\pi i\frac{k(n+1)\pi}m}.

Az Sm(n,k) összegben szereplő tagokat tehát úgy rendezhetjük párokba és különálló tagokra, hogy ezekben az összeg mind valamilyen valós számszorosa az e^{\pi i\frac{k(n+1)\pi}m} számnak. A (c) tujadonság tehát igaz.

 

Ezek után n szerinti idukcióval igazoljuk, hogy Sm(n,k)\ne0, ha n<m. Az n=0 és n=1 esetekben ez következik az (a) tulajdonságból. Tegyük fel tehát, hogy 2\len<m és kisebb n-ekre az állítást már igazoltuk. Az (a) miatt elég a 0<k<n esetet vizsgálni.

Tekintsük ismét a (b) összefüggést:

 S_m(n,k) = S_m(n-1,k) + e^{2\pi i\frac{n}{m}} S_m(n-1,k-1);

Az indukciós feltevés szerint a jobboldalon álló két tag egyike sem 0. Mivel pedig


\arg S_m(n-1,k) - \arg \left(e^{2\pi i\frac{n}{m}}S_m(n-1,k-1)\right) \equiv
\pi\frac{kn}{m} - \pi\frac{(k+1)n}{m} =
-\pi\frac{k}{m}

nem többszöröse \pi-nek, a két tag nem párhuzamos.

A (b) tulajdonság tehát két olyan, 0-tól különböző komplex szám összegeként állítja elő Sm(n,k)-t, amelyek nem párhumazosak.

 

Megjegyzés. Az Sm(n,k), Sm(n-1,k) és e^{2\pi i\frac{n}{m}}S_m(n-1,k-1) komplex számok egy olyan háromszöget alkotnak, amelynek ismerjük a szögeit. Ha a háromszögre felírjuk a szinusztételt, kiszámíthatjuk az oldalak hosszát is; például


\frac{\big|S_m(n,k)\big|}{\big|S_m(n-1,k-1)\big|} =
\frac{\sin\frac{n\pi}m}{\sin\frac{k\pi}m}.

Ezek után könnyen kiszámítható Sm(n,k) hossza.

A fenti módszerrel belátható, hogy

(*)
S_m(n,k) = 
\frac{\sin\frac{n\pi}m\cdot
\sin\frac{(n-1)\pi}m\cdot\ldots\cdot
\sin\frac{(n-k+1)\pi}m}{
\sin\frac{k\pi}m\cdot
\sin\frac{(k-1)\pi}m\cdot\ldots\cdot
\sin\frac{\pi}m}
e^{\pi i\frac{k(n+1)\pi}m}.

Természetesen a (*) képletet közvetlenül a (b) tulajdonságból is igazolhatjuk indukcióval --- legalábbis ha a képletet előtte egy kismadár megsúgja nekünk.


Statistics on problem A. 469.
5 students sent a solution.
5 points:Nagy 235 János, Tomon István.
1 point:1 student.
Unfair, not evaluated:2 solutions.


  • Problems in Mathematics of KöMaL, December 2008

  • Támogatóink:   Ericsson   Cognex   Emberi Erőforrás Támogatáskezelő   Emberi Erőforrások Minisztériuma   Nemzeti Tehetség Program    
    MTA Energiatudományi Kutatóközpont   MTA Wigner Fizikai Kutatóközpont     Nemzeti
Kulturális Alap   ELTE   Morgan Stanley