Mathematical and Physical Journal
for High Schools
Issued by the MATFUND Foundation
Already signed up?
New to KöMaL?
I want the old design back!!! :-)

Problem A. 470. (January 2009)

A. 470. In the triangle ABC, denote by A1, B1, and C1 the feet of altitudes. Let P be the perpendicular foot C1 on line A1B1, and let Q be that point of line A1B1 for which AQ=BQ. Show that \anglePAQ=\anglePBQ=\anglePC1C.

(5 pont)

Deadline expired on February 16, 2009.


Sorry, the solution is available only in Hungarian. Google translation

Megoldásvázlat. Az állítást abban az esetben igazoljuk, amikor a háromszögnek A-nál és B-nél hegyesszöge van. Ha a két szög egyenlő, akkor P=Q, és az állítás semmitmondó, mert PAQ\angle=PBQ\angle=PC1C\angle=0. Ezért feltehetjük, hogy CAB\angle\neABC\angle.

Legyen R az AB és A1B1 egyenesek metszéspontja, és jelöljük AB felezőpontját F-fel. Mivel AA1B\angle=AB1B\angle=90o, illetve CFQ=CPQ\angle=90o, az ABA1B1 és CFQP négyszögek húrnégyszögek. Továbbá azt is tudjuk, hogy az A1,B1,C1,F pontok a háromszög Feuerbach-körén vannak. Az R pont hatványa ezekre a körökre egyenlő:

(1)RA.RB=RA1.RB1=RC1.RF=RP.RQ.

Mivel tehát RA.RB=RP.RQ, az A,B,P,Q pontok is egy körön vannak.

Az A1 és B1 pontok az AB egyenesnek a C-t tartalmazó oldalán vannak, az R pont az AB szakaszon kívül van. Az (1) képletben szereplő szorzatok mind pozitívak, és a R pont pedig a körökön kívülre esik. Ebből következik, hogy a P,Q pontok is az AB egyenesnek a C-t tartalmazó az oldalán vannak.

Legyen S az ABPQ körön a Q-val átellenes pont. Ezen átmegy az AB oldal FQ felező merőlegese is, továbbá a PC1 egyenes is, mivel QPC\angle=90o. Mivel CC1 párhuzamos QS-sel,

PC1C\angle=PSQ\angle.

A kerületi szögek tételéből pedig

PAQ\angle=PBQ\angle=PSQ\angle.

 

Abban az esetben, ha CAB\angle>90o vagy ABC\angle>90o, az állítás pontosításra szorul. Ilyenkor ugyanis az R pont az AB szakasz belsejébe esik, és az P,Q pontok AB-nek ellentétes oldalára esnek. Emiatt például a PAQ és PBQ szögek nem egyenlőek, hanem az összegük 180o.

(Az állítás az általános esetben is igaz marad, ha előjeles szögekkel mondjuk ki.)


Statistics:

7 students sent a solution.
5 points:Éles András, Nagy 235 János, Nagy 314 Dániel, Nagy 648 Donát, Somogyi Ákos, Tomon István.
3 points:1 student.

Problems in Mathematics of KöMaL, January 2009