KöMaL - Középiskolai Matematikai és Fizikai Lapok
 English
Információ
A lap
Pontverseny
Cikkek
Hírek
Fórum

Rendelje meg a KöMaL-t!

VersenyVizsga portál

Kísérletek.hu

Matematika oktatási portál

A. 478. If a1,a2,...,an are positive numbers with a1+a2+...+an=1, prove a_1\cdot
a_2^{2/3}+a_2\cdot a_3^{2/3}+\dots+a_{n-1}\cdot a_n^{2/3}<\frac37.

(5 points)

Deadline expired on 15 April 2009.


Solution. Let


S = 
a_1\cdot a_2^{2/3}+a_2\cdot a_3^{2/3}+\ldots+a_{n-1}\cdot a_n^{2/3}.

Apply Hölder's innequality on the sequences (ai1/3) and (aiai+1)1/3 (i=1,2,...,n-1), with the expononts p=3 and q=3/2:


S =
\sum_{i=1}^{n-1} a_i^{1/3}\Big(a_i^{2/3}a_{i+1}^{2/3}\Big)
\le
\left(\sum_{i=1}^{n-1} \Big(a_i^{1/3}\Big)^3 \right)^{1/3}
\left(\sum_{i=1}^{n-1}\Big((a_ia_{i+1})^{2/3}\Big)^{3/2}\right)^{2/3}
=


= \left(\sum_{i=1}^{n-1} a_i \right)^{1/3}
\left(\sum_{i=1}^{n-1} a_ia_{i+1}\right)^{2/3}.

From the estimates \sum_{i=1}^{n-1}a_i<\sum_{i=1}^na_i=1 and


\sum_{i=1}^{n-1} a_ia_{i+1} \le
\left( \sum_{i\equiv0~(2)} a_i \right)
\left( \sum_{j\equiv1~(2)} a_j \right)
\le
\left(\frac{
\left( \sum\limits_{i\equiv0~(2)} a_i \right) +
\left( \sum\limits_{j\equiv1~(2)} a_j \right)
}2\right)^2=\frac14

we obtain


S < \left(\frac14 \right)^{2/3} = \frac1{2\root3\of2} < 0,3969 < \frac37.

Based on the solution of Nagy János


Statistics on problem A. 478.
3 students sent a solution.
5 points:Nagy 235 János, Nagy 314 Dániel, Tomon István.


  • Problems in Mathematics of KöMaL, March 2009

  • Támogatóink:   Ericsson   Cognex   Emberi Erőforrás Támogatáskezelő   Emberi Erőforrások Minisztériuma   Nemzeti Tehetség Program    
    MTA Energiatudományi Kutatóközpont   MTA Wigner Fizikai Kutatóközpont     Nemzeti
Kulturális Alap   ELTE   Morgan Stanley