KöMaL - Középiskolai Matematikai és Fizikai Lapok
 English
Információ
A lap
Pontverseny
Cikkek
Hírek
Fórum

Rendelje meg a KöMaL-t!

VersenyVizsga portál

Kísérletek.hu

Matematika oktatási portál

A. 480. Let p(z) be a complex polynomial of degree n, and suppose that all (complex) roots of p(z) are of unit modulus. For every real number c\ge0, show that the roots of the polynomial

2z(z-1)p'(z)+((c-n)z+(c+n))p(z)

are of unit modulus as well.

(5 points)

Deadline expired on 15 May 2009.


Google Translation (Sorry, the solution is published in Hungarian only.)

I. megoldás. Legyen

 p(z) = a_nz^n + a_{n-1}z^{n-1} + \ldots + a_1z + a_0,

és

q(z)=2z(z-1)p'(z)+((c-n)z+(c+n))p(z).

 

Tegyük fel, hogy p(z)-nek összesen k különböző komplex gyöke van: r_1=e^{ix_1},\ldots,r_k=e^{ix_k}, ahol 0\le x_1<\ldots<x_k<2\pi. A gyökök multiplicitásai legyenek rendre m_1,\ldots,m_k; a polinom gyöktényezős alakja tehát

 p(z) = a_n\prod_{\ell=1}^k(z-r_\ell)^{m_\ell}.

Mivel a p polinom n-edfokú, m_1+\ldots+m_k=n.

Minden egyes 1\le\ell\lek-ra a (z-r_\ell)^{m_\ell-1} polinom osztója p-nek és a p'-nek, és velük együtt q-nak is. Ezért a q polinomnak már ismerjük (multiplicitással számolva) n-k gyökét. Sőt, ha a gyökök között szerepel az 1 (azaz r0=1 és x1=0), akkor eggyel több gyököt is ismerünk, mert (z-r1)m1=(z-1)(z-r1)m1-1 is osztója q-nak. A továbbiakban nevezzűk q-nak ezeket a gyökeit ,,triviális'' gyököknek; a triviális gyökök száma tehát legalább n-k+1 ha x1=0, illetve legalább n-k ha x1>0.

 

A továbblépéshez a következő azonosságokra lesz szükségünk:


\frac{p'(z)}{p(z)} = \sum_{\ell=1}^k \frac{m_\ell}{z-r_\ell}
(1)

\frac{e^{iu}+e^{iv}}{e^{iu}-e^{iv}} = -i \ctg\frac{u-v}2 
(2)

Az (1) a differenciálási szabályok egyszerű és jól ismert következménye. A (2) bizonyításához bővítsük a törtet e^{-i\frac{u+v}2}-vel:


\frac{e^{iu}+e^{iv}}{e^{iu}-e^{iv}} =
\frac{(e^{iu}+e^{iv})e^{-i\frac{u+v}2}}{(e^{iu}-e^{iv})e^{-i\frac{u+v}2}} =
\frac{e^{i\frac{u-v}2+}+e^{-i\frac{u-v}2}}{e^{i\frac{u-v}2+}-e^{-i\frac{u-v}2}} =
\frac{2\cos\frac{u-v}2}{2i\sin\frac{u-v}2} =
-i \ctg\frac{u-v}2.

 

Ezeket felhasználva,


q(z) = 
(z-1)p(z)\left(2z\frac{p'(z)}{p(z)}+\frac{(c-n)z+(c+n)}{z-1}\right) =
(z-1)p(z) \left(2z\sum_{\ell=1}^k\frac{m_\ell}{z-r_\ell} -n
  +c\frac{z+1}{z-1} \right) =


= (z-1)p(z) \left(\sum_{\ell=1}^k
  m_\ell\left(\frac{2z}{z-r_\ell}-1\right) + c\frac{z+1}{z-1} \right)
= (z-1)p(z) \left(\sum_{\ell=1}^k m_\ell\frac{z+r_\ell}{z-r_\ell}
  +c\frac{z+1}{z-1} \right)
  (3)

és


q(e^{it}) =
(e^{it}-1)p(e^{it}) \left(\sum_{\ell=1}^k 
  m_\ell\frac{e^{it}+e^{ix_\ell}}{e^{it}-e^{ix_\ell}}
  +c\frac{e^{it}+e^0}{e^{it}-e^0} \right) =


= -i (e^{it}-1)p(e^{it}) \left(\sum_{\ell=1}^k 
  m_\ell \cdot \ctg\frac{t-x_\ell}2 + c \cdot \ctg\frac{t}2 \right).
  (4)

 

Vizsgáljuk most --- valós t értékekre --- az


f(t) =
\sum_{\ell=1}^k m_\ell \cdot\ctg\frac{t-x_\ell}2 + c\cdot\ctg\frac{t}2

függvényt. A függvény nem értelmes az x_\ell+2j\pi alakú helyeken, továbbá c>0 esetén a 2j\pi alakú helyeken. Ezekben a pontokban, ,,pólusokban'' a bal- illetve jobboldai határértéke -\infty, illetve +\infty, a közbülső intervallumokban a függvény folytonos, és az értéke tisztán valós

A Bolzano-tétel miatt az f függvény bármely két szomszédos pólus között felveszi a 0-t. Ha pedig valamely \xi valós számra f(\xi)=0, akkor (4) miatt az e^{i\xi} komplex szám gyöke a q polinomnak, ez a gyök egységnyi abszolút értékű, és nem szerepel a ,,triviális'' gyökök között. Nevezzük az így talált gyököket q ,,nemtriviális'' gyökeinek. A nemtriviális gyökök száma (legalább) k vagy k+1 attól függően, hogy f-nek hány pólusa van egy perióduson.

 

A továbbiakban négy esetet különöztetünk meg c és x1 értékétől függően.

1. eset: x>0, c>0. Az f függvénynek k+1 pólusa van: a 0 és az x_1,\ldots,x_k számok. Az q-nak tehát legalább k+1 nemtriviális gyöke van az egységkörön. A triviális gyökökkel együtt ez (legalább) n+1 darab.

2. eset: x1=0, c>0. A függvénynek k pólusa van: x_1=0,x_2,\ldots,x_k. A nemtriviális gyökök száma tehát k. Mivel r1=1, a triviális gyökök száma (legalább) n-k+1. A kétféle gyökből tehát összesen legalább n+1 darabot találtunk.

3. eset: x1=0, c=0. Ha c=0, akkor a függvényből hiányzik a c\cdot\ctg\frac{t}2 tag. A pólusok, illetve a nemtriviális gyökök száma tehát k. Ha x1=0, akkor a triviális gyökök száma legalább n-k+1, összesen legalább n+1.

4. eset: x1>0, c=0. Az előző esethez hasonlóan a nemtriviális gyökök száma k, a triviális gyökök száma pedig n-k. A triviális gyökökön kívül q-nak az 1 is gyöke, mert

q(z)=2z(z-1)p'(z)+(-nz+n)p(z)=(z-1)(2zp'(z)-np(z)).

Ha az 1 szerepel a nemtriviális gyökök között, akkor a \frac{q(z)}{z-1} polinomnak is gyöke, tehát legalább kétszeres gyök. Ez ismét csak n+1 gyök az egységgyökön.

Mindegyik esetben megtaláltuk q-nak legalább n+1 gyökét az egységkörön. Mivel q foka n+1, ez azt jelenti, hogy q-nak minden gyöke az egységkörön van.

 

Megjegyzés. A q(z) polinomban a fő együttható (c+n)an, a konstans tag (c+n)a0. A Viéte-formulákból láthatjuk, hogy q gyökeinek szorzata egységnyi abszolút értékű. Ezért elég q-nak n gyökét megtalálnunk az eségkörön, és elkerülhetjük a négyféle eset szétválasztását.

 

II. megoldás. Tekintsük ismét a (3) egyenletet:


\frac{q(z)}{(z-1)p(z)} = 
  \sum_{\ell=1}^k m_\ell\frac{z+r_\ell}{z-r_\ell}
  +c\frac{z+1}{z-1}.
  (3')

Tetszőleges különböző z és \alpha komplex számokra


\mathrm{Re} \frac{z+\alpha}{z-\alpha} =
\mathrm{Re} \frac{(z+\alpha)(\overline{z}-\overline{\alpha})}{|z-\alpha|^2} =
\frac{|z|^2-|\alpha|^2+\mathrm{Re}(\overline{z}\alpha-z\overline{\alpha})}{|z-\alpha|^2} =
\frac{|z|^2-|\alpha|^2}{|z-\alpha|^2}.
(5)

Az (3) és (5) összefüggéseket összevetve láthatjuk, hogy \mathrm{Re}\frac{q(z)}{(z-1)p(z)} mindig pozitív, ha |z|>1, és mindig negatív, ha |z|<1.

 

2. megjegyzés. A feladat kapcsolódik az 1995. évi IMC 2/3. feladatához.


Statistics on problem A. 480.
3 students sent a solution.
5 points:Nagy 235 János, Tomon István.
0 point:1 student.


  • Problems in Mathematics of KöMaL, April 2009

  • Támogatóink:   Ericsson   Cognex   Emberi Erőforrás Támogatáskezelő   Emberi Erőforrások Minisztériuma   Nemzeti Tehetség Program    
    MTA Energiatudományi Kutatóközpont   MTA Wigner Fizikai Kutatóközpont     Nemzeti
Kulturális Alap   ELTE   Morgan Stanley