Az A. 498. feladat (2010. január) |
A. 498. Legyen p(x) egész együtthatós polinom, w pedig egységnyi abszolút értékű komplex szám. Igazoljuk, hogy ha a c=p(w) szám tisztán valós, akkor létezik olyan q(x) egész együtthatós polinom, amire .
(5 pont)
A beküldési határidő 2010. február 10-én LEJÁRT.
Megoldás. Ha w=1, akkor p(w) egész szám, és az állítás triviális. A továbbiakban feltételezzük, hogy w nem tisztán valós.
Lemma. Minden egyes k nemnegatív egészhez létezik olyan egész együtthatós uk(x) polinom, amire
sin (k+1)t=uk(2cos t).sin t.
Bizonyítás. A lemmát k szerinti indukcióval igazoljuk. A k=0 és k=1 esetekben a u0(x)=1, illetve u1(x)=x polinomok megfelelnek, mert sin t=1.sin t és sin 2t=2cos t.sin t. Ha az állítás (k-1)-re és (k-2)-re igaz, akkor az
uk(x)=uk-1(x).x-uk-2(x)
polinom is teljesíti a feltételeket, mert szintén egész együtthatós, és
sin (k+1)t=2sin ktcos t-sin (k-1)t=2.uk-1(2cos t)sin t.cos t-uk-2(2cos t)sin t=
=(uk-1(2cos t).2cos t-uk-2(2cos t))sin t=uk(2cos t)sin t.
Ezzel a lemmát igazoltuk.
Ha , akkor definiáljuk q-t a következőképpen: .
Ha w=cos t+isin t, ahol a feltételünk szerint , akkor
Megjegyzés. A feladat kapcsolódik az CIIM 1 (Egyetemisták első Ibero-Amerikai Matematika Versenye) 6. feladatához. A fenti megoldás Pablo Soberon Bravo (Mexikó) versenydolgozata felhasználásával készült.
Statisztika:
7 dolgozat érkezett. 5 pontot kapott: Backhausz Tibor, Bodor Bertalan, Éles András, Nagy 235 János, Nagy 648 Donát, Strenner Péter, Szabó 928 Attila.
A KöMaL 2010. januári matematika feladatai