KöMaL - Középiskolai Matematikai és Fizikai Lapok
 English
Információ
A lap
Pontverseny
Cikkek
Hírek
Fórum

Rendelje meg a KöMaL-t!

ELTE

VersenyVizsga portál

Kísérletek.hu

Matematika oktatási portál

A. 500. In space, there are given three prolate spheroids \mathcal{E}_1, \mathcal{E}_2 and \mathcal{E}_3 (ellipsoids which can be obtained by rotating ellipses about their major axes), and a plane \mathcal{S}. The three ellipsoids share one of their foci. Suppose that for each i=1,2,3, the surfaces \mathcal{E}_{i+1} and \mathcal{E}_{i+2} have exactly two common points with the plane \mathcal{S}, and denote by \elli connecting these common points. Show that the lines \ell1, \ell2 and \ell3 are either concurrent or parallel.

(Based on the idea of Kristóf Kornis, Budapest)

(5 points)

Deadline expired on 10 March 2010.


Google Translation (Sorry, the solution is published in Hungarian only.)

Megoldás.

Lemma. Tegyük fel, hogy {\cal E} forgási ellipszoidfelület, amelyet egy ellipszisnek a nagytengelye körüli körbeforgatásával kaphatunk, és amelynek egyik fókuszpontja F. Ekkor létezik olyan f:\mathbb{R}^3\to\mathbb{R} lineáris függvény, amelyre az X pont akkor és csak akkor illeszkedik az {\cal E} ellipszoidfelületre, ha FX=f(X).

Bizonyítás. Az állítás független a koordinátarendszertől, ezért elég a lemmát abban a helyzetben igazolni, amikor az ellipszoidfelület két fókusza F=(0,0,0) és G=(g,0,0). Az ellipszoid nagytengelyének hossza legyen h>g.

Ha az X=(x,y,z) pont rajta van a felületen, akkor

GX=h-FX(1)
 \sqrt{(x-g)^2+y^2+z^2} = h - FX  (2)
 \sqrt{FX^2-2gx+g^2} = h - FX  (3)
FX2-2gx+g2=h2-2h.FX+FX2(4)
 FX = \frac{g}{h}x + \frac{h^2-g^2}{2h}.  (5)

A megfordításhoz tekintsünk egy olyan X pontot, amire (5) teljesül. Először azt bizonyítjuk, hogy FX<h.


FX = \frac{g}{h}x + \frac{h^2-g^2}{2h}
\le \frac{g}{h}FX + \frac{h^2-g^2}{2h}


\left(1-\frac{g}{h}\right)FX \le \frac{h^2-g^2}{2h}


FX \le \frac{h+g}{2} < h.

Ezek után az (1)-(5) lépéseket elmondhatjuk visszafelé is, nert (3) mindkét oldalán nemnegatív szám áll.

A lemma tehát teljesül az f(X)=\frac{g}{h}x + \frac{h^2-g^2}{2h} lineáris függvényre. Ezzel a lemmát igazoltuk.

 

Legyen F az {\cal E}_1, {\cal E}_2 és {\cal E}_3 ellipszoidok közös fókuszpontja, és minden egyes i=1,2,3-re fi az a lineáris függvény, amire FX=f1(X) az {\cal E}_2 felület egyenlete.

Az {\cal E}_{i+1} és {\cal E}_{i+2} ellipszoidok közös pontjaira teljesül, hogy

FX=fi+1(X),(6)
FX=fi+2(X),(7)

tehát

fi+1(X)-fi+2(X)=0.(8)

Mivel a két ellipszoid különböző, az fi+1-fi+2 lineáris függvény nem lehet azonosan nulla, tehát és (8) egy sík egyenlete. Jelöljük ezt a síkot Pi-vel.

A (6), (7) és (8) egyenletek közül bármelyik kettőből következik a harmadik. Ha tehát az X pont rajta van az egyik ellipszoidon és a Pi síkon, akkor X rajta van a másik ellipszoidon is. A két ellipszoid közös pontjai tehát a Pi síkon vannak.

A feladat feltevése szerint {\cal E}_{i+1} és {\cal E}_{i+2} ellipszoidoknak egynél több közös pontja van, mert például az {\cal S} síkban is van kettő. A Pi sík tehát metszi {\cal E}_{i+1}-et és {\cal E}_{i+2}-t, és végtelen sok közös pontjuk van. Mivel a vételen sok közös pont közül csak kettő esik az {\cal S} síkra, a Pi és {\cal S} síkok különbözőek, és az \elli egyenesen metszik egymást.

 

A P1,P2,P3 síkok egyenleteinek összege nulla:

(f2(X)-f3(X))+(f3(X)-f1(X))+(f1(X)-f2(X))-0.

Ha tehát egy X pont rajta a három sík közül valamelyik kettőn, akkor rajta van a harmadikon is. A három sík tehát vagy egy egyenesre illeszkedik, vagy párhuzamos, vagy pedig egybeesik.

Az \ell1, \ell2, \ell3, egyenesek a {\cal S} síkban fekszenek. Ha valamelyik i=1,2,3-ra az \elli és \elli+1 egyenesnek van egy K közös pontja, akkor K illeszkedik a Pi és Pi+1 síkoknak. Ha viszont K közös pontja a Pi és Pi+1 síkoknak, akkor K illeszkedik a Pi+2 síkra is. A K tehát rajta van a S és Pi+2 síkokon, tehát rajta van az \elli+2 egyenesen is.

Az \ell1, \ell2, \ell3, egyenesek tehát egy ponton mennek át, párhuzamosak vagy egybeesnek.

 

Megyjegyzés. A Lemma állítását a következőképpen is megfogalmazhatjuk: létezik egy olyan D irányított sík és egy 0<e<1 valós szám, amire az X pont akkor és csak akkor van rajta az ellipszoidon, ha

d(D,X)=e.FX.

(d(D,X) jelöli a D-től mért előjeles távolságot.)

Síkban ez jól ismert. Általában, ha F egy nem elfajuló kúpszelet egyik fókuszpontja, akkor létezik olyan D egyenes és e valós szám, amire az X pont akkor és csak akkor van rajta a kúpszeleten, ha

|d(D,X)|=e.FX.(9)

Az (9) összefüggés a kúpszelet fokális egyenlete, az e szám pedig a kúpszelet excentritása.


Statistics on problem A. 500.
5 students sent a solution.
5 points:Backhausz Tibor, Frankl Nóra, Nagy 648 Donát.
4 points:Nagy 235 János.
0 point:1 student.


  • Problems in Mathematics of KöMaL, February 2010

  • Támogatóink:   Ericsson   Cognex   Emberi Erőforrás Támogatáskezelő   Emberi Erőforrások Minisztériuma   Nemzeti Tehetség Program    
    MTA Energiatudományi Kutatóközpont   MTA Wigner Fizikai Kutatóközpont     Nemzeti
Kulturális Alap   ELTE   Morgan Stanley