Középiskolai Matematikai és Fizikai Lapok
Informatika rovattal
Kiadja a MATFUND Alapítvány
Már regisztráltál?
Új vendég vagy?

Az A. 500. feladat (2010. február)

A. 500. Adottak a térben az {\cal E}_1, {\cal E}_2 és {\cal E}_3 forgási ellipszoidfelületek, amelyeket egy-egy ellipszisnek a nagytengelye körüli körbeforgatásával kaphatunk, és egy {\cal S} sík. A három ellipszoid egyik fókusza közös. Tegyük fel, hogy minden egyes i=1,2,3-ra az {\cal E}_{i+1} és {\cal E}_{i+2} felületeknek pontosan két közös pontja van az {\cal S} síkkal, és jelöljük \elli-vel a két közös pontot összekötő egyenest.

Mutassuk meg, hogy az \ell1, \ell2 és \ell3 egyenesek egy ponton mennek át vagy párhuzamosak.

Kornis Kristóf (Budapest) ötletéből

(5 pont)

A beküldési határidő 2010. március 10-én LEJÁRT.

Megoldás.

Lemma. Tegyük fel, hogy {\cal E} forgási ellipszoidfelület, amelyet egy ellipszisnek a nagytengelye körüli körbeforgatásával kaphatunk, és amelynek egyik fókuszpontja F. Ekkor létezik olyan f:\mathbb{R}^3\to\mathbb{R} lineáris függvény, amelyre az X pont akkor és csak akkor illeszkedik az {\cal E} ellipszoidfelületre, ha FX=f(X).

Bizonyítás. Az állítás független a koordinátarendszertől, ezért elég a lemmát abban a helyzetben igazolni, amikor az ellipszoidfelület két fókusza F=(0,0,0) és G=(g,0,0). Az ellipszoid nagytengelyének hossza legyen h>g.

Ha az X=(x,y,z) pont rajta van a felületen, akkor

GX=h-FX(1)
\sqrt{(x-g)^2+y^2+z^2} = h - FX (2)
\sqrt{FX^2-2gx+g^2} = h - FX (3)
FX2-2gx+g2=h2-2h.FX+FX2(4)
FX = \frac{g}{h}x + \frac{h^2-g^2}{2h}. (5)

A megfordításhoz tekintsünk egy olyan X pontot, amire (5) teljesül. Először azt bizonyítjuk, hogy FX<h.

FX = \frac{g}{h}x + \frac{h^2-g^2}{2h} \le \frac{g}{h}FX + \frac{h^2-g^2}{2h}

\left(1-\frac{g}{h}\right)FX \le \frac{h^2-g^2}{2h}

FX \le \frac{h+g}{2} < h.

Ezek után az (1)-(5) lépéseket elmondhatjuk visszafelé is, nert (3) mindkét oldalán nemnegatív szám áll.

A lemma tehát teljesül az f(X)=\frac{g}{h}x + \frac{h^2-g^2}{2h} lineáris függvényre. Ezzel a lemmát igazoltuk.

 

Legyen F az {\cal E}_1, {\cal E}_2 és {\cal E}_3 ellipszoidok közös fókuszpontja, és minden egyes i=1,2,3-re fi az a lineáris függvény, amire FX=f1(X) az {\cal E}_2 felület egyenlete.

Az {\cal E}_{i+1} és {\cal E}_{i+2} ellipszoidok közös pontjaira teljesül, hogy

FX=fi+1(X),(6)
FX=fi+2(X),(7)

tehát

fi+1(X)-fi+2(X)=0.(8)

Mivel a két ellipszoid különböző, az fi+1-fi+2 lineáris függvény nem lehet azonosan nulla, tehát és (8) egy sík egyenlete. Jelöljük ezt a síkot Pi-vel.

A (6), (7) és (8) egyenletek közül bármelyik kettőből következik a harmadik. Ha tehát az X pont rajta van az egyik ellipszoidon és a Pi síkon, akkor X rajta van a másik ellipszoidon is. A két ellipszoid közös pontjai tehát a Pi síkon vannak.

A feladat feltevése szerint {\cal E}_{i+1} és {\cal E}_{i+2} ellipszoidoknak egynél több közös pontja van, mert például az {\cal S} síkban is van kettő. A Pi sík tehát metszi {\cal E}_{i+1}-et és {\cal E}_{i+2}-t, és végtelen sok közös pontjuk van. Mivel a vételen sok közös pont közül csak kettő esik az {\cal S} síkra, a Pi és {\cal S} síkok különbözőek, és az \elli egyenesen metszik egymást.

 

A P1,P2,P3 síkok egyenleteinek összege nulla:

(f2(X)-f3(X))+(f3(X)-f1(X))+(f1(X)-f2(X))-0.

Ha tehát egy X pont rajta a három sík közül valamelyik kettőn, akkor rajta van a harmadikon is. A három sík tehát vagy egy egyenesre illeszkedik, vagy párhuzamos, vagy pedig egybeesik.

Az \ell1, \ell2, \ell3, egyenesek a {\cal S} síkban fekszenek. Ha valamelyik i=1,2,3-ra az \elli és \elli+1 egyenesnek van egy K közös pontja, akkor K illeszkedik a Pi és Pi+1 síkoknak. Ha viszont K közös pontja a Pi és Pi+1 síkoknak, akkor K illeszkedik a Pi+2 síkra is. A K tehát rajta van a S és Pi+2 síkokon, tehát rajta van az \elli+2 egyenesen is.

Az \ell1, \ell2, \ell3, egyenesek tehát egy ponton mennek át, párhuzamosak vagy egybeesnek.

 

Megyjegyzés. A Lemma állítását a következőképpen is megfogalmazhatjuk: létezik egy olyan D irányított sík és egy 0<e<1 valós szám, amire az X pont akkor és csak akkor van rajta az ellipszoidon, ha

d(D,X)=e.FX.

(d(D,X) jelöli a D-től mért előjeles távolságot.)

Síkban ez jól ismert. Általában, ha F egy nem elfajuló kúpszelet egyik fókuszpontja, akkor létezik olyan D egyenes és e valós szám, amire az X pont akkor és csak akkor van rajta a kúpszeleten, ha

|d(D,X)|=e.FX.(9)

Az (9) összefüggés a kúpszelet fokális egyenlete, az e szám pedig a kúpszelet excentritása.

Statisztika:

5 dolgozat érkezett.
5 pontot kapott:Backhausz Tibor, Frankl Nóra, Nagy 648 Donát.
4 pontot kapott:Nagy 235 János.
0 pontot kapott:1 versenyző.

A KöMaL 2010. februári matematika feladatai