KöMaL - Középiskolai Matematikai és Fizikai Lapok
 English
Információ
A lap
Pontverseny
Cikkek
Hírek
Fórum

Rendelje meg a KöMaL-t!

ELTE

VersenyVizsga portál

Kísérletek.hu

Matematika oktatási portál

A. 502. Prove that for arbitrary complex numbers w1,w2,...,wn there exists a positive integer k\le2n+1 for which \mathop{\rm Re} \big(w_1^k+w_2^k+\dots+w_n^{k}\big) \ge 0.

(5 points)

Deadline expired on 10 March 2010.


Google Translation (Sorry, the solution is published in Hungarian only.)

Megoldás. A w1,...,wn számokhoz vegyük hozzá a komplex konjugáltjaikat is; legyen w_{n+1}=\overline{w_1}, ..., w_{2n}=\overline{w_n}.

Legyen

(x-w_1)(x-w_2)\ldots(x-w_{2n}) = x^{2n}+A_1x^{2n-1}+\ldots+A_{2n-1}x+A_{2n}

az a valós együtthatós polinom, amelynek komplex gyökei a w1,...,w2n számok, és legyen A2n+1=A2n+2=...=0.

Legyen


S_k = w_1^k+x_2^k+\ldots+w_{2n}^k.

Mivel


\mathop{\rm Re} \big(w_1^k+w_2^k+\dots+w_n^{k}\big) =
\frac12 \big(w_1^k+w_2^k+\dots+w_{2n}^{k}\big) =
\frac12 S_k,

az állítás ekvivalens azzal, hogy az S1,S2,...,S2n+1 (szintén valós) számok között van nemnegatív.

A továbbiakban felhasználjuk az úgynevezett Newton-Girard formulákat (lásd pl. itt vagy itt): tetszőleges k pozitív egészre


S_k + A_1S_{k-1} + A_2S_{k-2} + \ldots + A_{k-1}S_1 + kA_k = 0.

Az A1,...,A2n+1 számok között van legalább egy nempozitív, mert például A2n+1=0. Legyen Am az első nempozitív. Ekkor 1\lem\le2n+1, és A1,...,Am-1 mind pozitív. Az m-edik Newton-Girard formula szerint


S_{m}+A_1S_{m-1}+A_2S_{m-2}+\ldots+A_{m-1}S_1 = -m A_m \ge 0 .

A baloldalon az S1,...,Sm számoknak egy olyan lineáris kombinációja áll, amiben minden együttható pozitív. Mivel a jobboldalon álló -mAm nemnegatív, az S1,...,Sm számok között is van legalább egy nemnegatív.

Megjegyzések. Az állítás éles abban az értelemben, hogy S1,...,S2n lehet egyszerre negatív. Például w_j=\cos\frac{2\pi j}{2n+1}+i\sin\frac{2\pi j}{2n+1} esetén S_1=\ldots=S_{2n}=-1 (és A_1=\ldots=A_{2n}=1).

2. Az állítás Turán Pál On a new method of analysis and its applications című könyvéből származik.


Statistics on problem A. 502.
3 students sent a solution.
5 points:Backhausz Tibor, Nagy 235 János, Nagy 648 Donát.


  • Problems in Mathematics of KöMaL, February 2010

  • Támogatóink:   Ericsson   Cognex   Emberi Erőforrás Támogatáskezelő   Emberi Erőforrások Minisztériuma   Nemzeti Tehetség Program    
    MTA Energiatudományi Kutatóközpont   MTA Wigner Fizikai Kutatóközpont     Nemzeti
Kulturális Alap   ELTE   Morgan Stanley