KöMaL - Középiskolai Matematikai és Fizikai Lapok
 English
Információ
A lap
Pontverseny
Cikkek
Hírek
Fórum

Rendelje meg a KöMaL-t!

VersenyVizsga portál

Kísérletek.hu

Matematika oktatási portál

A. 503. In space, there are given some vectors u1,u2,...,un and v such that |u1|\ge1, ..., |un|\ge1 and |v|\le1, and u1+...+un=0. Show that

|u1-v|+...+|un-v|\gen.

(5 points)

Deadline expired on 12 April 2010.


Solution.

Lemma. If a,b are vectors such that |a|\ge1 and |b|\le1 then

|a-b|\ge|1-ab|.(1)

Proof:

|a-b|2-|1-ab|2=(|a|2-2ab+|b|2)-(1-2ab+|ab|2)=(|a|2-1)(1-|b|2)+(|a2|.|b2|-|ab|2)\ge0.

 

To solve the problem, apply the lemma to a=ui, v=b and the apply the triangle inequality:

|u1-v|+...+|un-v|\ge|1-u1v|+...+|1-unv|\ge|(1-u1v)+...+(1-unv)|=|n-(u1+...+un)v|=n.


Statistics on problem A. 503.
8 students sent a solution.
5 points:Backhausz Tibor, Bodor Bertalan, Éles András, Nagy 648 Donát, Szabó 928 Attila.
4 points:Nagy 235 János.
0 point:2 students.


  • Problems in Mathematics of KöMaL, March 2010

  • Támogatóink:   Ericsson   Cognex   Emberi Erőforrás Támogatáskezelő   Emberi Erőforrások Minisztériuma   Nemzeti Tehetség Program    
    MTA Energiatudományi Kutatóközpont   MTA Wigner Fizikai Kutatóközpont     Nemzeti
Kulturális Alap   ELTE   Morgan Stanley