KöMaL - Középiskolai Matematikai és Fizikai Lapok
Sign In
Sign Up
 Magyar
Information
Contest
Journal
Articles

 

Problem A. 503. (March 2010)

A. 503. In space, there are given some vectors u1,u2,...,un and v such that |u1|\ge1, ..., |un|\ge1 and |v|\le1, and u1+...+un=0. Show that

|u1-v|+...+|un-v|\gen.

(5 pont)

Deadline expired on 12 April 2010.


Solution.

Lemma. If a,b are vectors such that |a|\ge1 and |b|\le1 then

|a-b|\ge|1-ab|.(1)

Proof:

|a-b|2-|1-ab|2=(|a|2-2ab+|b|2)-(1-2ab+|ab|2)=(|a|2-1)(1-|b|2)+(|a2|.|b2|-|ab|2)\ge0.

 

To solve the problem, apply the lemma to a=ui, v=b and the apply the triangle inequality:

|u1-v|+...+|un-v|\ge|1-u1v|+...+|1-unv|\ge|(1-u1v)+...+(1-unv)|=|n-(u1+...+un)v|=n.


Statistics:

8 students sent a solution.
5 points:Backhausz Tibor, Bodor Bertalan, Éles András, Nagy 648 Donát, Szabó 928 Attila.
4 points:Nagy 235 János.
0 point:2 students.

Our web pages are supported by:   Ericsson   Cognex   Emberi Erőforrás Támogatáskezelő   Emberi Erőforrások Minisztériuma   Nemzeti Tehetség Program    
MTA Energiatudományi Kutatóközpont   MTA Wigner Fizikai Kutatóközpont     Nemzeti
Kulturális Alap   ELTE   Morgan Stanley