Középiskolai Matematikai és Fizikai Lapok
Informatika rovattal
Kiadja a MATFUND Alapítvány

Már regisztráltál?
Új vendég vagy?

Az A. 503. feladat (2010. március)

A. 503. Adottak a térben az u₁,u₂,...,u_n és v vektorok úgy, hogy |u₁| $\ge$ 1, ..., |u_n| $\ge$ 1 és |v| $\le$ 1, továbbá u₁+...+u_n=0. Igazoljuk, hogy

$|u_1-v| + \ldots + |u_n-v| \ge n.$

(5 pont)

A beküldési határidő 2010. április 12-én LEJÁRT.

Megoldás.

Lemma. Ha az a,b vektorokra |a| $\ge$ 1 és |b| $\le$ 1, akkor

|a-b| $\ge$ |1-ab|.

(1)

Bizonyítás.

|a-b|²-|1-ab|²=(|a|²-2ab+|b|²)-(1-2ab+|ab|²)=(|a|²-1)(1-|b|²)+(|a²|^.|b²|-|ab|²) $\ge$ 0.

A lemmát az a=u_i, v=b esetekre felírva, majd a háromszög-egyenlőtlenséget alkalmazva,

|u₁-v|+...+|u_n-v| $\ge$ |1-u₁v|+...+|1-u_nv| $\ge$ |(1-u₁v)+...+(1-u_nv)|=|n-(u₁+...+u_n)v|=n.

Statisztika:

8 dolgozat érkezett.

5 pontot kapott: Backhausz Tibor, Bodor Bertalan, Éles András, Nagy 648 Donát, Szabó 928 Attila.

4 pontot kapott: Nagy 235 János.

0 pontot kapott: 2 versenyző.

A KöMaL 2010. márciusi matematika feladatai

8 dolgozat érkezett.
5 pontot kapott:	Backhausz Tibor, Bodor Bertalan, Éles András, Nagy 648 Donát, Szabó 928 Attila.
4 pontot kapott:	Nagy 235 János.
0 pontot kapott:	2 versenyző.