Mathematical and Physical Journal
for High Schools
Issued by the MATFUND Foundation
Already signed up?
New to KöMaL?
I want the old design back!!! :-)

Problem A. 505. (March 2010)

A. 505. In a cyclic quadrilateral ABCD, the points O1 and O2 are the incenters of triangles ABC and ABD, respectively. The line O1O2 meets BC and AD at E and F, respectively.

(a) Show that there exists a circle k which touches the lines BC and AD at E and F, respectively.

(b) Prove that k also touches the circumcirlce of ABCD.

Proposed by: János Nagy, Budapest)

(5 pont)

Deadline expired on April 12, 2010.


Sorry, the solution is available only in Hungarian. Google translation

Megoldásvázlat. (a) Jelöljük a körülírt kört k0-lal, és legyen G,H,I rendre a kör AB, BC, DA íveinek felezőpontja. Az ABC háromszögben AH és CG szögfelezők, tehát O1 ezek metszéspontja; hasonlóan O2 a BI és DG húrok metszéspontja. Ismert továbbá, hogy O1 és O2 rajta van a G középpontú, A-n és B-n átmenő körön. Az O1O2G háromszög tehát egyenlő szárú.

A CO1E és DO2F háromszögekben


ECO_1\angle = \frac12 BCA\angle = \frac12 BDA\angle = O_2DF \angle

és

CO1E\angle=GO1O2\angle=O1O2G\angle=FO2D\angle,

tehát FEC\angle=DFE\angle. Ebből pedig következik, hogy létezik a BC egyenest E-ben, az AD egyenest F-ben érintő k kör.

(b) Legyen az AB és EF egyenesek metszéspontja P, a PG egyenes és k0 második metszéspontja T. (Ha AB és EF párhuzamosak, akkor P a két egyenes ideális pontja és T=G.)

A Pascal-tételt az ABCGTH (piros) hatszögre alkalmazva kapjuk, hogy AB\capGT=P, CG\capHA=O1 és BC\capTH egy egyenesen van; következésképp a TH egyenes átmegy az E ponton. Hasonlóan, a Pascal-tételt a BADGTI (zöld) hatszögre alkalmazva kapjuk, hogy a TI egyenes átmegy az F ponton.

A k0 körhöz H-ban és I-ben, illetve a k-hoz E-ben és F-ben húzott érintők párhuzamosak. Ezért a HE egyenes és az IF egyenes is átmegy a két kör külső hasonlósági pontján. Tehát HE\capIF=T a két kör külső hasonlósági pontja. De a hasonlósági pont csak akkor lehet rajta valamelyik körön, ha a két kör érinti egymást.

(A fenti megoldás Ilja Bogdanovtól származik.)


Statistics:

8 students sent a solution.
5 points:Bodor Bertalan, Éles András, Frankl Nóra, Nagy 235 János, Nagy 648 Donát.
3 points:1 student.
2 points:1 student.
1 point:1 student.

Problems in Mathematics of KöMaL, March 2010