KöMaL - Középiskolai Matematikai és Fizikai Lapok
 English
Információ
A lap
Pontverseny
Cikkek
Hírek
Fórum

Rendelje meg a KöMaL-t!

VersenyVizsga portál

Kísérletek.hu

Matematika oktatási portál

A. 509. Prove that there exists a real number c>0 with the following property: among arbitrary, pairwise distinct positive integers a_1,a_2,\ldots,a_n (n\ge3), there are three whose least common multiple is at least c.n2.99.

(5 points)

Deadline expired on 10 June 2010.


Google Translation (Sorry, the solution is published in Hungarian only.)

Megoldásvázlat. Az állítást három olyan esetben bizonyítjuk, amelyek együttesen lefedik az összes lehetséges sorozatot.

1. eset: Van olyan 1\lek\len-2, amire \frac{a_{k+2}}{a_k}<1+2000n^{-1+\frac1{300}}.


[a_k,a_{k+1},a_{k+2}] =
\frac{a_ka_{k+1}a_{k+2} \cdot (a_k,a_{k+1},a_{k+2})}{
(a_k,a_{k+1})\cdot(a_k,a_{k+2})\cdot(a_{k+1},a_{k+2})}\ge


\ge \frac{a_k^2a_{k+1}\cdot1}{(a_{k+1}-a_k)(a_{k+2}-a_k)(a_{k+2}-a_{k+1})} =


=
\frac1{\big(\frac{a_{k+1}}{a_k}-1\big)\big(\frac{a_{k+2}}{a_k}-1\big)\big(\frac{a_{k+2}}{a_{k+1}}-1\big)}
> \frac1{\big(\frac{a_{k+2}}{a_k}-1\big)^3}
> \frac1{\Big(2000n^{-1+\frac1{300}}\Big)^3}
> \frac{n^{2,99}}{10^{10}}.

2. eset: n\ge2000, és \frac{a_{k+2}}{a_k}\ge 1+2000n^{-1+1000\frac1{300}} minden 1\lek\len-2 esetén.


a_n
\ge \frac{a_3}{a_1} \cdot \frac{a_5}{a_3} \cdot\ldots\cdot
\frac{a_{2\lceil n/2\rceil-1}}{a_{2\lceil n/2\rceil-3}}
\ge \left(1+2000n^{-1+\frac1{300}}\right)^{\frac{n-1}/2}.

Mivel \frac{n-1}{1800}>1, a Bernoulli-egyenlőtlenségből


\left(1+2000n^{-1+\frac1{300}}\right)^{\frac{n-1}{1800}} \ge
1+\frac{n-1}{1800}\cdot 2000n^{-1+\frac1{300}} >
\frac{n}{2000}\cdot 2000n^{-1+\frac1{300}} >
n^{\frac1{300}}.

Tehát,


[a_1,a_2,a_n] \ge a_n > 
\left(\left(1+2000n^{-1+\frac1{300}}\right)^{\frac{n-1}{1800}}\right)^{900} \ge
\left(n^{\frac1{300}}\right)^{900} = n^3.

3. eset: n<2000.


[a_1,a_2,a_3] > 1 > \frac{n^3}{10^{10}}.

Az állítás tehát minden sorozatra teljesül a c=10-10 választással.


Statistics on problem A. 509.
5 students sent a solution.
5 points:Backhausz Tibor, Bodor Bertalan, Éles András, Nagy 235 János, Nagy 648 Donát.


  • Problems in Mathematics of KöMaL, May 2010

  • Támogatóink:   Ericsson   Cognex   Emberi Erőforrás Támogatáskezelő   Emberi Erőforrások Minisztériuma   Nemzeti Tehetség Program    
    MTA Energiatudományi Kutatóközpont   MTA Wigner Fizikai Kutatóközpont     Nemzeti
Kulturális Alap   ELTE   Morgan Stanley