KöMaL - Középiskolai Matematikai és Fizikai Lapok
 English
Információ
A lap
Pontverseny
Cikkek
Hírek
Fórum

Rendelje meg a KöMaL-t!

VersenyVizsga portál

Kísérletek.hu

Matematika oktatási portál

A. 521. A. 521. There are given a positive integer m and an infinite sequence a1<a2<... of positive integers such that ak\lemk holds for infinitely many indices k. Prove that there exist positive integers b1,...,bm with the property that every integer can be written as ai-aj+bk where i,j are positive integers and 1\lek\lem.

(5 points)

Deadline expired on 10 January 2011.


Google Translation (Sorry, the solution is published in Hungarian only.)

Megoldás (Nagy Donát megoldása). Ha a b1,b2,...,bm egészekre teljesülnek a feladat feltételei, esetleg azt leszámítva, hogy a bi-knek pozitívnak kell lennie, akkor tetszőleges T\inZ mellett ugyanez igaz a b1+T,b2+T,...,bm+T egészekre is, hiszen az, hogy minden egész előáll ai-aj+bk alakban, ekvivalens azzal, hogy minden egész előáll ai-aj+bk+T alakban. Így a bi-k pozitivitására vonatkozó feltétel elhagyásával a bizonyítandóval ekvivalens állítást kapunk, hiszen ha b1,b2,...,bm tetszőleges megfelelő egészek, egy mindannyiuknál kisebb T egészt választva a b1-T,b2-T,...,bm-T egészek pozitívak lesznek, és szintén megfelelnek.

Tegyük fel indirekt módon, hogy egy adott m pozitív egészre és a1<a2<... pozitív egészekből álló sorozatra, amelyre ak\lemk végtelen sok k-ra, nincsenek megfelelő b1,b2,...,bm (nem feltétlenül pozitív) egészek.

Teljes indukcióval igazoljuk, hogy ha 0<r\lem+1, akkor vannak olyan c1,c2,...,cr egészek, amelyekre a {ci+ajj\inN} halmazok (i=1,2,...,r) páronként diszjunktak.

r=1-re például c1=0 megfelelő.

Tegyük fel, hogy az állítás r\lem-re igaz a c1,c2,...,cr számokkalé megmutatjuk, ekkor r+1-re is igaz. Legyen b1=c1, b2=c2, ..., br=cr, br+1=br+2=...=bm=0. Az indirekt feltevésünk szerint ezek a bi-k nem megfelelőek, így van egy olyan szám, amely nem írható ai-aj+bk alakban. Válasszuk ez a számot cr+1-nek. Ha valamely 1\lek\ler-re {cr+1+ajj\inN}\cap{ck+aii\inN}\neØ, akkor vanak olyan i,j\inN indexek, hogy cr+1+aj=ck+ai, tehát cr+1=ai-aj+ck=ai-aj+bk; de ez ellentmond annak, hogy cr+1 nem írható ai-aj+bk alakban. Azt már az indukciós feltevésből tudjuk, hogy 1\lek,l\ler, k\nel-re {ck+aii\inZ}\cap{cl+ajj\inZ}=Ø, így viszont az állítás valóban igaz (r+1)-re is.

Tekintsük az r=m+1-hez kapott c1,c2,...,cm+1 értékeket! Legyen C=max {|c1|,|c2|,...,|cm+1|} és k>2C olyan, hogy ak\lem.k (végtelen sok ilyen k van, így van 2C-nél nagyobb is). Ekkor a {ci+ajj\inN} halmazok (i=1,2,...,m+1) páronként diszjunktak, így a ci+aj értékek, ahol 1\lei\lem+1 és 1\lej\lek, páronként különbözőek. Mivel ezen (m+1)k egész mindegyike legalább 1-C és legfeljebb ak+C, így (m+1)k\leak+C-(1-C)+1\lemk+2C, de ez ellentmond k>2C-nek. Emiatt az ellentmondás miatt az indirekt feltevésünk téves volt, de így a feladat állítása igaz.


Statistics on problem A. 521.
5 students sent a solution.
5 points:Backhausz Tibor, Frankl Nóra, Nagy 235 János, Nagy 648 Donát.
2 points:1 student.


  • Problems in Mathematics of KöMaL, December 2010

  • Támogatóink:   Ericsson   Cognex   Emberi Erőforrás Támogatáskezelő   Emberi Erőforrások Minisztériuma   Nemzeti Tehetség Program    
    MTA Energiatudományi Kutatóközpont   MTA Wigner Fizikai Kutatóközpont     Nemzeti
Kulturális Alap   ELTE   Morgan Stanley