Középiskolai Matematikai és Fizikai Lapok
Informatika rovattal
Kiadja a MATFUND Alapítvány
Már regisztráltál?
Új vendég vagy?

Az A. 527. feladat (2011. február)

A. 527. Határozzuk meg azokat a p valós számokat, amelyekre az

x3+3px2+(4p-1)x+p=0

egyenletnek van két olyan valós gyöke, amelyek különbsége 1.

(5 pont)

A beküldési határidő 2011. március 10-én LEJÁRT.

1. megoldás. A polinomból mindig kiemelhetó az x+1 tényező:

x3+3px2+(4p-1)x+p=(x+1)(x2+(3p-1)x+p)

Az egyik gyök tehát a -1, a másik két gyök az x2+(3p-1)x+p egyenlet két gyöke. Ezért három esetet különböztethetünk meg:

1. eset: az x2+(3p-1)x+p polinomnak gyöke a 0. Behelyettesítve, ez akkor igaz, ha p=0.

2. eset: az x2+(3p-1)x+p polinomnak gyöke a -2. Behelyettesítve, ez akkor igaz, ha (-2)2+(3p-1).(-2)+p=-5p+6=0, azaz p=6/5.

3. eset: az x2+(3p-1)x+p polinomnak van két olyan valós gyöke, amelyek különbsége 1.

Legyen a két gyök u és v. A Viéte-formulák szerint u+v=-3p+1 és uv=p. Ebből

1=(u-v)2=(u+v)2-4uv=(-3p+1)2-4p=9p2-10p+1,

p(9p-10)=0,

p=0 vagy p=10/9.

Ha p=0, akkor az x2+(3p-1)x+p=x2-x polinomnak valóban van két valós gyöke: 0 és 1, ezek különbsége 1.

Ha p=10/9, akkor az x^2+(3p-1)x+p=x^2+\frac73x+\frac{10}0 polinomnak szintén van két valós gyöke: \frac23 és \frac53, és ezek különbsége is 1.

A feltételeknek megfelelő p értékek tehát:

p A két gyök
0 -1 és 0, vagy pedig 0 és 1
\frac65 -2 és -1
\frac{10}9 \frac23 és \frac53

Megjegyzések. 1. A -1 szerkesztői figyelmetlenség miatt lett mindig gyöke a polinomnak... :-(

2. A kérdés valójában az, hogy az f(x)=x3+3px2+(4p-1)x+p és f(x+1)=x3+(3p+3)x2+(10p+2)x+8p polinomoknak milyen p értékekre van közös gyöke. Ha komplex gyököket is megengedünk, akkor a közös gyök létezésének ekvivalens feltétele, hogy a két polinom rezultása 0 legyen:

S_{f(x),f(x+1)} = \det\left(\matrix{ 1 & 3p & 4p-1 & p & 0 & 0 \cr 0 & 1 & 3p & 4p-1 & p & 0 \cr 0 & 0 & 1 & 3p & 4p-1 & p \cr 1 & 3p+3 & 10p+2 & 8p & 0 & 0 \cr 0 & 1 & 3p+3 & 10p+2 & 8p & 0 \cr 0 & 0 & 1 & 3p+3 & 10p+2 & 8p \cr }\right) = 0

Ez p-re egy negyedfokú egyenletet ad.

Azt nem nehéz meggondolni, hogy két, nem tisztán valós gyök különbsége nem lehet 1, mert ezek konjugáltjai is gyökök lennének, és így a harmadfokú egyenletnek már négy különböző gyöke lenne.

Statisztika:

32 dolgozat érkezett.
5 pontot kapott:Ágoston Tamás, Czipó Bence, Damásdi Gábor, Énekes Péter, Forrás Bence, Lenger Dániel, Mester Márton, Nagy 235 János, Nagy 648 Donát, Schwarcz Gergő, Szabó 928 Attila, Tóth Balázs, Viharos Andor, Vuchetich Bálint.
4 pontot kapott:Ágoston Péter, Backhausz Tibor, Bágyoni-Szabó Attila, Dolgos Tamás, Frankl Nóra, Gyarmati Máté, Strenner Péter, Zahemszky Péter, Zsakó András.
3 pontot kapott:5 versenyző.
2 pontot kapott:2 versenyző.
1 pontot kapott:1 versenyző.
0 pontot kapott:1 versenyző.

A KöMaL 2011. februári matematika feladatai