Az A. 543. feladat (2011. október)

A. 543. Néhány független esemény valószínűségének az összege 4. Bizonyítsuk be, hogy több, mint 1/2 eséllyel a bekövetkező események számának 4-gyel való osztási maradéka 0 vagy 3.

Javasolta: Csóka Endre (Budapest)

(5 pont)

A beküldési határidő 2011. november 10-én LEJÁRT.

Megoldás. Legyenek a valószínűségek rendre p₁,...,p_n, ahol tehát p₁+...+p_n=4. Legyen az x_j valószínűségi változó értéke 1, ha a j-edik esemény bekövetkezik, és 0, ha a j-edik esemény nem következik be.

Legyen N=x₁+...+x_n a bekövetkező események száma, és legyen $q_r = P\Big(N\equiv r\pmod4 \Big)$ (r=0,1,2,3). Azt kell igazolnunk, hogy q₀+q₃>q₁+q₂.

Tekintsük az S=i^N véletlen komplex számot. Az S értéke 1, i, -1 vagy -i, ha az N szám 4-es maradéka rendre 0, 1, 2, illetve 3. Az állítást a S várható értékének vizsgálatával bizonyítjuk be. Mivel

E(S)=q₀+q₁i+q₂(-1)+q₃(-i),

az állítás azzal ekvivalens, hogy

$-\frac\pi4 < \arg S < \frac{3\pi}4.$

(1)

Az S definíciója szerint

$S = i^N = i^{x_1+\dots+x_n} = \prod_{j=1}^n i^{x_j} = \prod_{j=1}^n \Big((1-x_j)+x_ji\Big).$

Mivel a jobboldalon álló szorzat tényezői függetlenek, a szorzat várható értékét tényezőnként vehetjük:

$E(S) = \prod_{j=1}^n E\Big((1-x_j)+x_ji\Big) = \prod_{j=1}^n \Big((1-p_j)+p_ji\Big).$

Legyen $\varphi=\mathrm{arg}(p_j+(1-p_j)i)$ ( $0\le\varphi_j\le\frac\pi2$ ). Az (1) bizonyításához elég azt megmutatni, hogy

$\frac54\pi < \varphi_1+\dots+\varphi_n < \frac94\pi.$

(2)

Legyen $f(t)=\arctan\frac{t}{1-t}$ ha 0 $\le$ t<1 és $f(1)=\lim_{t\to1-0}f(1)=\frac\pi2$ . Ekkor tehát $\varphi$ _j=f(p_j) minden j-re. Megmutatjuk, hogy 0 $\le$ t $\le$ 1 esetén

$t \le f(t) \le \frac{49}{29}t.$

(3)

Ebből (2) azonal következik, mert

$\varphi_1+\dots+\varphi_n = f(p_1)+\dots+f(p_n) \ge p_1+\dots+p_n = 4 >\frac54\pi,$

és hasonlóan

$\varphi_1+\dots+\varphi_n = f(p_1)+\dots+f(p_n) \le \frac{49}{29}(p_1+\dots+p_n) = \frac{49}{29}\cdot 4 < \frac94\pi.$

Legyen g(t)=f(t)-t. Mivel 0<t<1 esetén $g'(t)=f'(t)-1=\frac{2t(1-t)}{1-2t(1-t)}>0$ , a g(t) függvény szigorúan monoton nő, ezért 0 $\le$ t $\le$ 1 esetén g(t) $\ge$ g(0)=0, tehát f(t) $\ge$ t.

Most vizsgáljuk a $h(t)=f(t)-\frac{49}{29}t$ függvényt. Mivel $h'(t)=f'(t)-\frac{49}{29}=-\frac{2(7t-2)(7t-5)}{29(1-2t(1-t))}$ , a (0,2/7) és az (5/7,1) intervallumban h'<0, az (2/7,5/7) intervallumban pedig h'>0. A h függvény tehát a [0,2/7] és az [5/7,1] intervallumban szigorúan monoton csökken, a [2/7,5/7] intervallumban pedig szigorúan monoton nő. Mivel h(0)=0 és $h(5/7)=\arctan\frac52-\frac{49}{29}\cdot\frac57\aprox-0,0166<0$ , ebből következik, hogy h sehol sem pozitív, vagyis h(t) $\le$ 0 és így $f(t)\le\frac{49}{29}t$ .

Statisztika:

6 dolgozat érkezett.

5 pontot kapott: Ágoston Tamás, Gyarmati Máté, Omer Cerrahoglu, Strenner Péter.

3 pontot kapott: 1 versenyző.

2 pontot kapott: 1 versenyző.

A KöMaL 2011. októberi matematika feladatai

6 dolgozat érkezett.
5 pontot kapott:	Ágoston Tamás, Gyarmati Máté, Omer Cerrahoglu, Strenner Péter.
3 pontot kapott:	1 versenyző.
2 pontot kapott:	1 versenyző.

Már regisztráltál?
Új vendég vagy?